Várias ampliações

Question

Suponha que eu considere, por dentro $\mathbb{P}^6$, as subvariedades $Y=V(x_2,\ldots,x_6)\simeq \mathbb{P}^1$ e $Z=V(x_0,\ldots,x_3)\simeq \mathbb{P}^2 $.

Eu quero entender o que é a explosão de $\mathbb{P}^6$ ao longo $Y,Z$. Seguindo o livro de geometria algébrica de Harris, comecei$Bl_Y(\mathbb{P}^6)$: o ideal de $Y$ é $I(Y)=(x_2,\ldots,x_6)$e, portanto, tenho um mapa racional

$$\phi:\mathbb{P}^6 \dashrightarrow \mathbb{P}^4, p\mapsto [p_2:\ldots:p_6]$$ e $Bl_Y(\mathbb{P}^6)\subset \mathbb{P}^6\times\mathbb{P}^4$ é a variedade fechada associada ao gráfico de $\phi$.

Agora eu gostaria de explodir $\mathbb{P}^6$ ao longo $Z$, portanto, suponho que preciso estudar

$$Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))$$

e aqui tenho várias perguntas:

• $Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))\subset \mathbb{P}^6\times \mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^3$? Acho que sim, uma vez que estou repetindo o procedimento acima, queria saber se uma sequência de$n$- explosões, por exemplo, ao vivo em um produto cartesiano de $n+1$-espaços projetivos (embora eu possa obviamente incorporá-los por meio de um mapa Segre);
• Posso explodir simultaneamente $\mathbb{P}^6$ ao longo $Y,Z$? Eu obtenho a mesma construção?
• (Ligado à pergunta acima): o que acontece se $Y\cap Z \neq \emptyset$?

Answer 1

1. Sim, você pode fazer isso - sempre que explodir algo (localmente) cortado por $d$ equações dentro $X$, você pode incorporar sua ampliação ao produto $X\times\Bbb P^{d-1}$. Isso segue da descrição da ampliação como um projeto relativo:$Bl_ZX=\underline{\operatorname{Proj}} \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$, e localmente em $X$ nós recebemos uma surjection $\mathcal{O}_X[t_1,\cdots,t_d]\to \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$ que (após a colagem) corresponde a uma imersão fechada $Bl_ZX\hookrightarrow \Bbb P^{d-1}_X$.
2. Sim se $Y,Z$ são dois subesquemas fechados disjuntos, então todas as ampliações $Bl_Y(Bl_Z X)$, $Bl_Z(Bl_Y X)$ e $Bl_{Y\cup Z} X$são os mesmos. Isso pode ser verificado localmente, uma vez que as explosões são isomorfismos da coisa que você explode.
3. Acontece que parte da nossa conclusão de 2 é válida, uma vez que generalizamos de forma adequada: $Bl_{\pi^{-1}(Y)}(Bl_Z X) \cong Bl_{\pi^{-1}(Z)}(Bl_Y X)$(este é o Lema IV-41 em Eisenbud e Harris ' The Geometry of Schemes ). Observe que esta é a transformação total, não a transformação estrita - as transformações estritas são sensíveis à ordem. Se isso é ou não igual a$Bl_{Y\cup Z}(X)$ provavelmente deve depender de como $Y$ e $Z$ se cruzam, mas não tenho exemplos instrutivos disponíveis agora, e basicamente toda a teoria geral para a resolução de singularidades é desenvolvida assumindo uma explosão ao longo de um centro liso, o que o coloca de volta na situação de 2.