Çözücü norm için bir sınırda

Question

İzin Vermek $H$karmaşık, sonsuz boyutlu, ayrılabilir bir Hilbert uzayı olabilir. Sıfır olmayan herhangi iki operatörü düzeltin$A,B \in B(H)$ öyle ki $B$ skaler katı değil $A$. İyi bilinmektedir ki:

$$ \| R_A (z) \| \rightarrow 0 \quad \text{when}\, |z| \rightarrow +\infty $$

Bu, aşağıdakilerden kolayca çıkar:

$$\|R_A(z) \| \leq \frac{1}{|z| - \| A \|} \quad \forall z \in \mathbb{C} : |z| > \| A \|$$

Şimdi operatörü düşünün $A+ cB$ nerede $c$ pozitif bir gerçek sayıdır ve bazı karmaşık sayıları düzeltir $z$. Bunu herkes için söyleyebilir miyiz$\epsilon >0$var $M>0$ öyle ki:

$$ c > M \, \, \text{such that} \, \, z \not \in \sigma(A+cB) \Rightarrow \|R_{A+cB} (z)\| < \epsilon$$

Sezgisel olarak$c \rightarrow +\infty$, sahip olurduk:

$$ R_{A+cB}(z)=(z-A-cB)^{-1}= c^{-1}(z/c - A/c -B)^{-1} "\rightarrow" 0$$

Çünkü $|z/c| \rightarrow 0$, $\|A\| / c \rightarrow 0$, $1/c \rightarrow 0$ ve $B$düzeltildi. Bununla birlikte, bu tür bir sonuç için herhangi bir referans olduğunun farkında değilim. Bunun referansı veya kanıtı olan var mı?

Answer 1

Michael'ın daha önce gözlemlediği gibi: Karşı örnekler oluşturmak basittir. $B$ önemsiz bir çekirdeğe sahip $N(B)$ ve $A$ haritalar $N(B)$ o zamandan beri kendi içine $N(B)$ büyüklüğü $c$ hiçbir rol oynamaz.

Ama bile $B$ bir izomorfizmdir, hatta kimliktir $B=I$varsayım yanlıştır: $z-A-cB=(z-c)-A$. Ters normun maksimumu (hepsinin üzerinde)$z$ karşılık gelen çözücü setinden) açıkça bağımsızdır $c$.

Her neyse, eğer $B$bir izomorfizmdir, bazı tahminler vardır:

Orada tutar $(z-A-cB)^{-1}=B^{-1}((z-A)B^{-1}-c)^{-1}$ve soruda belirtilen çözümleyici tahminini elde etmek için kullanabilirsiniz. $$\|R_{A+cB}(z)\|\le\|B^{-1}\|\frac1{|c|-\|(z-A)B^{-1}\|}.$$ Bu, aşağıdaki durumlarda bir tahmin verir: $|c|$ ile karşılaştırıldığında büyük $|z|\|B^{-1}\|$.

Eğer $|z|$ ile karşılaştırıldığında büyük $|c|\|B\|$sorudan tahmin kullanılabilir.

Hiçbiri yoksa, yukarıda belirtildiği gibi iyi bir tahminin yapılmasına gerek yoktur ($B=I$).