Dır-dir $D_8$ normal bir alt grup $S_4$?

Question

Bunu göstermeye çalışıyorum $D_8$ normal bir alt grup değil $S_4$Bunu gösterdim $D_8$ alt grubu $S_4$O halde bırak $r=\langle(1234)\rangle$ ve $s =\langle(14)(23)\rangle$Sonra görüyoruz ki $D_8$ alt kümesidir $S_4$ ve bu bir grup olduğu için $D_8$ alt grubudur $S_4$.

Bunu kanıtlamak $D_8$normal bir alt grup değil. İçinde$D_8$ iki düzen unsuru vardır $4$Yani, alıyoruz $\sigma (1234) \sigma^{-1}$ hangisi olmalı $H$Artık eşleniklik döngü yapısını koruduğu için biz seçiyoruz $\sigma$ eşlenik öğe ait olmayacak şekilde $H$Böyle bir döngü seçmek mümkün olduğu gibi mümkündür. $6$ 4 döngü $S_4$ ve içinde sadece iki tane var $D_8$Bir element için gösterdiğimden beri, eşlenik $D_8$Diğer unsurlar için göstermem gerekiyor mu?

Answer 1

Bir alt grup $H$ bir grubun $G$ normaldir ancak ve ancak herkes için $g\in G$ ve $h\in H$, $ghg^{-1}\in H$.

Var olduğunu gösterdiğinden beri $g\in S_4$ öyle ki $g(1234)g^{-1}\notin D_8$şu sonuca varmak yeterlidir: $D_8$ normal bir alt grup değil $S_4$.

Answer 2

Öğeleri görürsek $1,2,3,4$ bir karenin köşeleri olarak ve o karenin iki yüzlü grubunu düşünün, bu bize $D_8$. Diğer kopyaları yeniden sipariş ederek elde edebiliriz.

Var $6$ sipariş yolları $4$ köşeler (aşağıdaki gibi döngüsel kaymaları görüntülediğimizi varsayarsak $1,2,3,4$ ve $2,3,4,1$ aynı sıralama ile) sonuçlanır $3$ farklı kopyaları $D_8$ (çünkü "zıt" sıralama çiftleri $1,2,3,4$ ve $1,4,3,2$aynı grupla sonuçlanır; bir sıralamadan diğerine geçmek için kareyi ters çevirmeniz yeterlidir).

Bu üç farklı kopya $D_8$ birbirleriyle eşleniktirler, örneğin Sylow oldukları için $2$alt gruplar (doğru sıraya sahiptirler) ve belirli bir sıranın tüm Sylow alt grupları eşleniktir. Özellikle normal değiller.