Nasıl açıklayabiliriz ki $\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$? [çiftleme]

Question

Varsayarak, aşağıdaki koşullu özellik beklentisinin geçerli olduğunu biliyoruz $\mathbb E[|X|]<\infty$:

$\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$

Biri bana bu konuda biraz sezgi verebilir mi? neden beklenen değeri tekrar aldığımızda, rastgele değişken Y'yi bilmek X'in beklenen değerini etkilemeyecektir.

Answer 1

Sezgi - yani bir saniyeliğine kesinlik ve olasılık alanlarını unutalım ve sadece kavramın zihinsel bir karikatür resmini geliştirelim - aslında oldukça basittir:

Denklemin LHS'sinin içinde $\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$ bulduk $\color{blue}{\mathbb E\left( {X|Y} \right)},$ rastgele değişkenin beklentisini hangi koşullar $X$ rastgele değişkenin değeri üzerine $Y.$ Gibi, $ {\mathbb E\left( {X|Y} \right)}$ aslında rastgele bir değişkendir ve bir fonksiyonudur $Y.$ Bu bir sayı değil, ölçülebilir bir fonksiyondur ${\mathbb E\left( {X|Y} \right)}:Y \to \mathbb R.$ Etki alanı boyunca kayarken $Y,$ beklentisi $X$ bağımlı olmaları koşuluyla değişiklikler.

Ama bu ifade $\color{blue}{\mathbb E\left( {X|Y} \right)}$ ayrıca operatörün içine alınır $ {\mathbb E\left( \cdot \right)},$ Bu, aslında tüm değerlerde beklentiyi (ağırlıklı ortalama değer) aradığımız anlamına gelir. $Y.$ Bunu yaparken, esasen bütünleştiriyoruz ve bireysel değerleri oluşturuyoruz $Y$ alakasız.

Resimsel olarak,

Yine, sadece bir sezgi!

Answer 2

Bu diyagramların size bir faydası olacak mı bilmiyorum. Koşullandırmayı örnek uzay üzerine bir şeffaflık koymak olarak düşünmeyi faydalı buluyorum .

İzin Vermek $X_1, X_2$iki adil, bağımsız kumpas olun. Kafaların sonucunu şu şekilde belirtin:$0$ ve kuyrukların sonucu $1$. İzin Vermek$S = X_1 + X_2$. Örnek alan$\Omega$ dört puana sahiptir: $\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\} = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4\}$,:

Önce iç koşullu beklentiyi düşünün, $Z = E[S | X_2]$. Bunu not et$Z$ rastgele bir değişkendir: her biri için $\omega \in \Omega$, $Z(\omega)$gerçek bir sayıdır. Bu basitçe$Z(\omega)$ setlerde sabittir $X_2^{-1}(\{0\}) = \{(0,0), (1,0)\} = \{\omega_1, \omega_3\}$ ve $X_2^{-1}(\{1\}) = \{(0,1),(1,1)\} = \{\omega_2, \omega_4\}.$ Diyagram formatında,

Sabit değeri nedir $Z$ ne zaman $X_2 = 0$? Koşullu olasılıktır$S$ verilen $X_2 = 0$, üzerinden ortalama $\omega$sette $\{\omega : X_2(\omega) = 0\}$: $$E[S | X_2](\omega_1) = E[S|X_2](\omega_3) = 0.5.$$ Benzer şekilde, $$E[S | X_2](\omega_2) = E[S|X_2](\omega_4) = 1.5.$$

Şimdi ne zaman yaparsan olur $E[E[S|X_2]]$? Yine ortalamasın . Kural$E[E[S|X_2]] = E[S]$ (kabaca) "kısmi ortalamaların ortalaması tam ortalamadır" şeklinde okunabilir.