Cauchy-Sequenz ist kein topologischer Begriff

Question

Lassen $(E,d)$ sei ein metrischer Raum.

• Eine Sequenz $(u_n)_n\in E^\mathbb{N}$ konvergiert zu $l\in E$ wenn für alle $\varepsilon >0$gibt es $N\in \mathbb{N}$ so dass $d(u_n,l)<\varepsilon$. Ich könnte das auch für jede offene Teilmenge sagen$U$, $l\in U \Rightarrow \exists N, u_n\in U, \forall n\ge N$.

Ich verstehe, dass dieser Begriff der Konvergenz in dem Sinne topologisch ist, dass er nur von der Topologie von abhängt $E$.

• Eine Sequenz $(u_n)_n\in E^\mathbb{N}$ soll eine Cauchy-Sequenz sein, wenn für alle $\varepsilon >0$gibt es $N\in \mathbb{N}$ so dass für alle $p,q\ge N$, $d(u_p,u_q)<\varepsilon$. Hier könnte ich für jede offene Teilmenge sagen$U$, $0\in U \Rightarrow \exists N, u_n-u_p \in U, \forall n,p\ge N$.

Ich verstehe jedoch nicht, warum dieser Begriff der Cauchy-Sequenz nicht topologisch ist, das heißt, wir können ihn nicht nur aus den offenen Mengen von definieren $E$ ?

Ich versuche dies mit der Tatsache zu verstehen, dass eine konvergente Cauchy-Sequenz möglicherweise nicht konvergiert $E$. In diesem Fall konnte der Grenzwert nicht mit offenen Sätzen von charakterisiert werden$E$. Das wäre der Grund?

Answer 1

Auf $(0,\infty)$Beachten Sie den üblichen Abstand $d_1$ ($d_1(x,y)=|x-y|$) und die Entfernung $d_2$ definiert von $d_2(x,y)=|\log(x)-\log(y)|$. Diese Abstände sind äquivalent (dh sie induzieren die gleichen offenen Mengen) und daher eine Folge von Elementen von$(0,\infty)$ konvergiert in $\bigl((0,\infty),d_1\bigr)$ genau dann, wenn es konvergiert $\bigl((0,\infty),d_2\bigr)$.

Allerdings ist die Reihenfolge $\left(\frac1n\right)_{n\in\Bbb N}$ ist eine Cauchy-Sequenz in $\bigl((0,\infty),d_1\bigr)$, aber nicht in $\bigl((0,\infty),d_2\bigr)$.

Also das Wissen um die offenen Teilmengen eines metrischen Raumes $(X,d)$ ist nicht genug, um seine Cauchy-Sequenzen zu kennen.