Die Kommutativität von $I$ und $Y$ in einem Stabilisatorcode

Question

Lassen $P_1 = \lbrace I, -I, iI, -iI, X, -X, iX, -iX, Y, -Y, iY, -iY, Z, -Z, iZ, -iZ\rbrace$. Lassen$P_n$ sei der $n$-tensor Falte von $P_1$. Es wird gesagt, dass zwei Operatoren entweder pendeln, wenn$AB = BA$ oder Anti-Pendler, wenn $AB = -BA$ für alle $A,B \in P_n$.

Lass uns haben $n=1$ und $A=I$ und $B=Y$, dann haben wir:

\begin{align*} IY &\stackrel{\text{true}}{=} YI,\\ IY &\stackrel{\text{true}}{=} -YI. \end{align*}

Mit anderen Worten, $I$ und $Y$sowohl pendeln als auch anti-pendeln. Der Vollständigkeit halber habe ich auch ein Matlab-Code-Snippet hinzugefügt.

I = [1 0; 0 1];
Y = [0 -i;i  0];
if isequal(I*Y,Y*I)
   disp('commute') 
end
if isequal(I*Y,-Y*I)
   disp('ANTI-commute') 
end

Ich beziehe mich auf Daniel Gottesmans Doktorarbeit .

Was vermisse ich?

Bearbeiten: Mein Matlab-Code sollte nur eine der if-Anweisungen ausführen (nicht beide). Es scheint, dass meine Maschine die Antworten von zuvor zwischengespeichert hat. Ein Neustart des Programms hat das Problem behoben.

Answer 1

Es sollte sein $IY \ne - YI$ Anstatt von $IY = - YI$. $$IY \ne - YI \\ \begin{pmatrix} 1&0\\ 0& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \ne -\begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0& 1 \end{pmatrix} \\ Y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \ne -\begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} = -Y $$

So $I$ und $Y$Nicht pendeln. Außerdem$I$ Anti-Pendler nur mit der Matrix mit allen $0$Einträge. Ebenfalls,$I$ pendelt mit allen Matrizen, weil von der Definition $IM = M = MI$, wo $M$ ist eine Zufallsmatrix.

---

Im Gegenteil alle Paare aus $\{X, Y, Z \}$Anti-Pendel miteinander. Als Beispiel:

$$\{X Z \} = XZ + ZX = 0$$

weil $XZ = -ZX$. Wir haben auch diese Beziehungen:$XY = -YX$ und $YZ = -ZY$ woraus wir schließen können $\{XY\} = \{ZY\} = 0$.