Die Norm dieses Operators finden

Question

Ich habe diesen Raum $X=C([-1,1],\mathbb{C})$ der Raum der kontinuierlichen Funktionen aus $[-1,1] \to \mathbb{C}$, Lassen $t_1,\dots,t_n \in [-1,1]$ und $c_1,\dots c_n\in \mathbb{C}$. Betrachten Sie den Operator:$f: X \to \mathbb{C} $ wie: $$f(x)=\sum_{j=1}^n c_j x(t_j).$$ Das muss ich beweisen $f$ ist ein beschränkter Operator von $X$ zu $\mathbb{C}$ und finde $||f||$. Ich habe es geschafft zu beweisen, dass es begrenzt ist, aber ich habe Probleme zu finden$||f||$. Denken Sie daran, dass die Norm in$X$ ist der $\sup$Norm. Wenn wir bezeichnen$\gamma_j=||c_j|| $:: $$\sup_{x\in X}\frac{||f(x)||}{||x||}=\sup_{x\in X}\frac{||\sum_{j=1}^n c_j x(t_j)||}{||x||}=\sup_{x\in X} \sum_{j=1}^n \gamma_j \frac{||x(t_j)||}{||x||} $$ Deutlich $|| f||$ hängt explizit von ab $\gamma_j$, aber ich weiß nicht genau, wie ich weitermachen soll und irgendwie eine explizitere Zahl zeigen soll. Irgendwelche Ideen würden helfen.

Answer 1

Tipp 1: Sie haben einen Fehler gemacht, die folgende Gleichheit ist nicht wahr:

$$ \sup_{x\in X}\frac{||\sum_{j=1}^n c_j x(t_j)||}{||x||}\neq \sup_{x\in X} \sum_{j=1}^n \gamma_j \frac{||x(t_j)||}{||x||}$$

Tipp 2: Für alle$c_j \neq 0$ bezeichnen mit $\omega_i:= \frac{c_j}{||c_j||}$.

Dann $$\|\sum_{j=1}^n c_j x(t_j)\| \leq \sum_{j=1}^n| c_j| | x(t_j)| \leq \sum_{j=1}^n| c_j| \| x\| $$

Die erste Ungleichung ist Gleichheit genau dann $$\overline{\omega_j} x(t_i)=|x(t_i)|$$ während die zweite ist Gleichheit genau wann $$|x(t_i)|=\|x\|$$