Eine Eigenschaft der stetigen Funktion

Question

Lassen $f(x)$ eine stetige Funktion sein $\mathbb{R}$. Lassen$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ sei eine Folge von reellen Zahlen, so dass $a_{n}\leq a_{n+1}$ für alle $n\geq 1$.

Problem : können wir eine finden $\alpha>0$ so dass :

für alle $n\geq 1$ es gibt $b_{n}\in(a_{n},a_{n+1})$ mit der Eigenschaft $$\alpha\; f(b_{n}) (b_{n}-a_{n})\leq f(a_{n})$$

Mein Gedanke: Wenn $f$ nimmt ab $\mathbb{R}$ dann nehmen wir einfach $\alpha=1$, aber was ist mit einem allgemeinen Fall wo $f$ in einigen Intervallen zunehmen und in anderen abnehmen?

Bearbeitet *

Hinzufügen: Nach den ersten beiden Antworten unten konnte dies im Allgemeinen nicht zutreffen. Aber was wenn$f(x)>0$ für alle $x\in\mathbb{R}$.

Answer 1

Nicht wahr. Lassen$f(x)=\sin (\pi x)$ und $a_n=n$. Dann$f(a_n) =0$ und $\alpha f(b_n) (b_n-a_n) >0$ für alle $b_n \in (a_n,a_{n+1})$ wenn $n$ ist gerade.

Antwort auf die überarbeitete Frage. Das Ergebnis ist in diesem Fall wahr. Such dir irgendeine aus$\alpha>0$. $f(a_n) >0$ und $\alpha f(x) (x-a_n) \to 0$ wie $x$ sinkt auf $a_n$. Daher existiert es$b_n \in (a_n,a_{n+1})$ so dass die Ungleichung gilt.

Answer 2

Nein.

Lassen $a_n=0$ für alle $n$. Wir haben das$b_n=0\implies b_n-a_n=0$. So ist LHS immer$0$. Nehmen$f(x)=-1$konstante Funktion. Wir haben: $$0 \leq -1$$

Widerspruch.