Kan Ersatz von endlich $\mathbb{Q}$-Typ vereinfachte Menge

Question

Es tut mir leid, wenn diese Frage vielleicht ein bisschen grundlegend ist, aber es handelt sich um ein ziemlich spezialisiertes Thema, daher denke ich, dass sie für MO besser geeignet ist als für SE.

Nehme an, dass $X$ist eine einfache Menge, die in jeder einfachen Dimension endlich viele nicht entartete Vereinfachungen aufweist. Dann natürlich$X$ hat endlich $\mathbb{Q}$-Typ (dh $H_n(X;\mathbb{Q})$ ist endlichdimensional als $\mathbb{Q}$-Vektorraum für alle $n\ge1$).

Lassen $Y$ eine fibrante Auflösung von sein $X$, das ist, $Y$ ist ein Kan-Komplex und wir haben eine schwache Äquivalenz $X\stackrel{\sim}{\to}Y$. Ich würde gerne sagen, dass$Y$ hat auch endlich $\mathbb{Q}$-Art. Ist das wahr?

Hier stecke ich fest: Wir wissen, dass es endlich ist $\mathbb{Q}$-Typ ist äquivalent zu $\pi_n(Y;\mathbb{Q})$ ist endlich dimensional für alle $n\ge2$ und $H_1(Y;\mathbb{Q})$ist endlich dimensional. Der erste Teil der Bedingung gilt, weil es gilt für$X$ und $Y$ ist schwach äquivalent zu $X$. Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich das zeigen soll$H_1(Y;\mathbb{Q})$ ist endlich dimensional.

Jede Hilfe und / oder Referenzen wäre sehr dankbar! Ich bin auch in dem Fall iteriert, in dem wir nur annehmen$X$ vom endlichen Typ sein (was hoffentlich mit dem gleichen Beweis funktionieren sollte).

Answer 1

Schwache Äquivalenzen von einfachen Mengen induzieren Isomorphismen in einfachen Homologiegruppen. Insbesondere bleibt die Eigenschaft endlicher dimensionaler rationaler Homologiegruppen unter schwachen Äquivalenzen erhalten.

Der einfachste Weg, dies von Grund auf zu beweisen, ist die Beobachtung, dass der kostenlose einfache Modul-Funktor (in diesem Fall verwenden wir Module über rationale Zahlen) ein linker Quillen-Funktor von der Kan-Quillen-Modellstruktur für einfache Mengen bis zur projektiven Modellstruktur ist einfache Module, weil der richtige Zusatz Fibrationen und azyklische Fibrationen bewahrt. Insbesondere bewahrt der kostenlose Simulator für einfache Module schwache Äquivalenzen, da alle einfachen Sätze kofibrant sind. Somit werden schwache Äquivalenzen von simplizialen Mengen an schwache Äquivalenzen von simplizialen Modulen gesendet, die nach dem Übergang zu normalisierten Ketten zu Quasi-Isomorphismen von Kettenkomplexen werden und somit Isomorphismen auf Homologiegruppen induzieren.