$\lim_{x\rightarrow 0}(\ln x^{2})^{2x}$

Question

$\lim_{x\rightarrow 0}(\ln x^{2})^{2x}$

Ich hatte das Gefühl, dass der einzige Ansatz, um die Grenzen zu finden, darin besteht, auf beiden Seiten ein Protokoll zu führen $y=\lim_{x\rightarrow 0}(\ln x^{2})^{2x}$

$\ln y=\lim_{x\rightarrow 0}2x \ln(\ln x^{2})$

Nahe $0$ , $\ln(\ln x^{2})$ wird sein $\ln(- \infty)$. das ist undefiniert.

Soll ich daraus schließen, dass das Limit nicht existiert?

Answer 1

Wie in einigen Kommentaren bemerkt, haben wir das

$$(\ln (x^{2}))^{2x}$$

ist kein gut definierter Ausdruck als $x\to 0$ Daher schließen wir in einigen Zusammenhängen als Einführungskurse plötzlich, dass es bedeutungslos ist, die Grenze an diesem Punkt zu berücksichtigen.

Wie auch immer, wie von anderen Benutzern in den Kommentaren beobachtet, wenn $x=\frac p q$ mit $p,q \in \mathbb Z$ und $q$ seltsamerweise können wir den Ausdruck algebrisch als bewerten $x\to 0$ und innerhalb dieser Einschränkung ist die Grenze $1$.

In der Tat haben wir das

$$(\ln (x^{2}))^{2x}=\left|\ln (x^{2})\right|^{2x}=e^{2x \ln\left(\left|\ln (x^{2}\right)\right|)}$$

und von $x=\pm e^{-y}$ mit $y \to \infty$

$$2x \ln\left(\left|\ln (x^{2}\right)\right|)=\pm \frac{2\ln (2y)}{e^y}\to 0$$

deshalb

$$(\ln (x^{2}))^{2x}\to e^0=1$$

Das Problem bei diesem allgemeineren Ansatz ist, dass wenn $2x=\frac p q$ mit $p,q \in \mathbb Z$ Beide Chancen haben wir

$$(\ln (x^{2}))^{2x}=-\left|\ln (x^{2})\right|^{2x}=-e^{2x \ln\left(\left|\ln (x^{2}\right)\right|)}$$

und die Grenze ist $-1$ in diesem Fall.

Abschließend können wir daher sagen, dass die Grenze nicht einmal für die rationale Einschränkung für existiert $x$ in dem der Ausdruck gut definiert werden kann.

Answer 2

Verwenden von $$\big[\log ^2(x)\big]^{2 x}=\exp\Big[2x \log\Big(\big[\log ^2(x)\big] \Big]$$

Für kleine Werte von $x$

$$\big[\log ^2(x)\big]^{2 x}=1+2 x \log \left(\log ^2(x)\right)+2 x^2 \log ^2\left(\log ^2(x)\right)+\cdots$$

Ich versuche es $x=\frac 1{e^4}$ das lhs ist $256^{\frac{1}{e^4}}\approx1.10690$ während die abgeschnittene Erweiterung gibt $$1+\frac{2 \log ^2(16)}{e^8}+\frac{\log (256)}{e^4}\approx 1.10672$$

Die Grenze ist $1$.

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Wenn das Problem ist $\big[\log (x^2)\big]^{2 x}$also für kleine $x$ $$\big[\log (x^2)\big]^{2 x}=1+2 x \log ( \log (x^2))+2 x^2 \log ^2( \log (x^2))+\cdots$$ und die Grenze ist $1$ nochmal.