Primitive Central Idempotent

Question

Ich lese den Beweis dieses Theorems und es gibt einen Teil, der mich ein bisschen stört. Der Satz und der Beweis dieses Teils (hervorgehoben) sind unten.

Beweis des hervorgehobenen Teils:

Die im Text angegebene Definition des primitiven zentralen idempotenten Elements $e$ ist wenn $e$ ist zentral und hat keine richtige Zerlegung als Summe orthogonaler zentraler idempotenter Elemente.

Der Teil, der mich verwirrt, ist, dass ich nicht sehe, wie $e = e e_i + e(1-e_i)$ impliziert, dass $ee_i = e_i$ oder $ee_i = 0$. Es scheint, als hätte der Autor die Tatsache genutzt, dass$e$ ist ein primitives zentrales Idempotent, um dies zu schließen, aber in der Aussage nehmen wir nur an $e$ ist ein zentrales Idempotent.

Nehmen Sie auch an, dass $e$ ist also ein primitiver zentraler Idempotent $e = e e_i + e(1-e_i)$ würde das auch implizieren $ee_i = 0$ oder $e(1-e_i) = 0 $ aber das würde das implizieren $e = ee_i$ obwohl.

Vielleicht fehlt mir hier etwas Triviales, aber ich sehe es nicht.

Danke euch allen.

Answer 1

Ich bin mir nicht sicher, ob der Autor einen Tippfehler hat oder ob mir etwas fehlt, aber wir können schreiben

$$e_i=ee_i+(1-e)e_i.$$

Dies ist eine Summe von orthogonalen zentralen Idempotenten und seitdem $e_i$ist primitiv, einer der Begriffe ist Null. Also auch nicht$ee_i=0$ oder $(1-e)e_i=0$, in welchem ​​Fall $e_i=ee_i$.