Real Projective Plane auf 3 verschiedene Arten

Question

Beim Lesen des Buches Basic Topology von MA Armstrong gibt es drei Interpretationen von Real Projective Plane:

(a) Nehmen Sie die Einheitskugel $S^n$ im $E^{n+1}$ und unterteilen Sie es in Teilmengen, die genau zwei Punkte enthalten, wobei die Punkte antipodal sind (an entgegengesetzten Enden eines Durchmessers). $P^n$ist der resultierende Identifikationsraum. Wir könnten unsere Beschreibung damit abkürzen$P^n$ gebildet wird aus $S^n$ durch Identifizierung von antipodalen Punkten.

(b) Beginnen Sie mit $E^{n+1}-\{0\}$und identifizieren Sie zwei Punkte genau dann, wenn sie auf derselben geraden Linie durch den Ursprung liegen. (Beachten Sie, dass antipodale Punkte von$S^n$ habe diese Eigenschaft.)

(c) Beginnen Sie mit der Einheitskugel $B^n$ und identifizieren antipodale Punkte seiner Grenzkugel.

Aber ich kann mir nicht vorstellen, warum (a) und (c) gleich sind. Bitte jemand hilft mir, eine Vorstellung davon zu bekommen.

Answer 1

Nehmen wir die Definition $P^n=S^n/[z\sim -z]$ wie in $(a)$ und darauf hinarbeiten $(c)$. Wir werden homogene Koordinaten verwenden, um die Punkte von anzuzeigen$P^n$, damit $[z_1,\dots,z_n]\in P^n$ repräsentiert die Äquivalenzklasse von $z=(z_1,\dots,z_n)\in S^n$.

Zu Beginn verwenden wir Radialkoordinaten zum Anzeigen $B^n$ als der Kegel $(S^{n-1}\times I)/(S^{n-1}\times\{0\})$. Die Grenzkugel ist dann der Unterraum$S^{n-1}\times\{0\}$. Mit diesem Verständnis definieren wir$$\widetilde\varphi:B^n\rightarrow P^n$$ die Karte sein $\widetilde\varphi(z,t)=[t\cdot z,\sqrt{1-t^2}]$, wo die positive Quadratwurzel in der letzten Koordinate genommen wird.

Diese Karte ist gut definiert und erfüllt darüber hinaus $\widetilde\varphi(z,1)=\widetilde\varphi(-z,1)$ für alle $z\in S^{n-1}$. Also wenn wir lassen$Q^n$ sei der Quotientenraum von $B^n$ erhalten durch Identifizierung von antipodalen Punkten von $S^{n-1}$dann gibt es eine induzierte Karte $$\varphi:Q^n\rightarrow P^n.$$Als letztes muss überprüft werden, ob es sich bei dieser Karte um einen Homöomorphismus handelt, den ich Ihnen überlassen werde. Der Punkt ist der gegebene$[z_1,\dots,z_n]\in P^n$, entweder $z_n=0$, oder $z_n\neq 0$und es gibt einen einzigartigen Vertreter von$[z_1,\dots,z_n]$ mit $z_n>0$. Dies war der Grund für die Angabe oben, dass die positive Quadratwurzel gezogen werden soll. Damit ist es nicht schwer zu sehen$\varphi$ist ein kontinuierliches Bijektiv. Das Aufschreiben einer kontinuierlichen Umkehrung ist nicht schwierig. Alternative,$Q^n$ ist kompakt, wenn Sie also glücklich sind $P^n$ ist Hausdorff, dann ist eine kontinuierliche Bijektion ausreichend.