Standardfehler der Stichprobenverteilung
Lassen $P =\{2,5,7,10\}$ eine Bevölkerung von Größe sein $N = 4$und lass uns nehmen $n = 2$ die Größe der entnommenen Proben sein $P$. So gibt es$6$ Proben der Größe $2$ von $P$: Sie sind $S_1 = \{2,5\}, S_2 = \{2,7\}, S_3 = \{2,10\}, S_4 = \{5,7\}, S_5 = \{5,10\}, S_6 = \{7,10\}$. Entnahme der Probenmittel von diesen$6$ Proben und nennen sie $\bar{x_1}, \bar{x_2}, \bar{x_3},\bar{x_4},\bar{x_5},\bar{x_6}$. Wir haben$\bar{x_1} = 3.5, \bar{x_2} = 4.5, \bar{x_3} = 6, \bar{x_4} = 6, \bar{x_5} = 7.5, \bar{x_6} = 8.5$. Wir berechnen dann die Populationsstandardabweichung der ursprünglichen Population und erhalten$\sigma = 2.915475$und der Standardfehler $\sigma_{\bar{x}} = 1.683251$. Mit$n = 2$, wir haben: $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{2.915475}{\sqrt{2}}= 2.061552$. Mit diesem Beispiel haben wir eindeutig:$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.061552 \neq 1.683251 = \sigma_{\bar{x}}$. Dies widerspricht der Formel in den meisten Statistiklehrbüchern, in der es heißt:$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Was schief gelaufen ist ?. Bei meiner Berechnung habe ich die Formeln für die Populationsstandardabweichung und nicht für die Stichprobenstandardabweichung verwendet. Hoffe jemand klärt mich auf.
Edit: Ich habe meinen Fehler gefunden. Die Formel ist wahr, da es insgesamt gibt$16$Proben, die durch Probenahme mit Ersatz erhalten wurden .
Antworten
Der Standardfehler des Mittelwerts, wie Sie ihn nennen $\sigma_{\bar x}$ist eine Funktion einer Stichprobe aus der Bevölkerung.
Angenommen, wir modellieren die Population als diskrete Zufallsvariable $X$ mit Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion $$\Pr[X = 2] = \Pr[X = 5] = \Pr[X = 7] = \Pr[X = 10] = \frac{1}{4}.$$ Dann $\mu = \operatorname{E}[X] = 6$ und $\sigma^2 = \operatorname{Var}[X] = \frac{17}{2}$wie wir es erwarten würden. Dann ist eine Stichprobe ein Satz von IID-Zufallsvariablen$$(X_1, X_2, \ldots, X_n)$$aus dieser Verteilung gezogen, und der Stichprobenmittelwert und die Varianz des Stichprobenmittelwerts sind$$\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad \operatorname{Var}[\bar X] \overset{\text{iid}}{=} \frac{\operatorname{Var}[X]}{n} = \frac{\sigma^2}{n}.$$So ist die Standardabweichung des Mittelwerts ist$$SEM = \sqrt{\operatorname{Var}[\bar X]} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$ Keine dieser Formeln beruht auf einer bestimmten Verteilungsannahme, nur dass der Populationsmittelwert und die Varianz endlich sind.
Wie dies auf die obige Verteilung zutrifft, ziehen wir beispielsweise eine Stichprobe der Größe $n = 2$;; z.B,$(X_1, X_2)$ ist unsere Probe und dies ergibt $$\operatorname{Var}\left[\frac{X_1 + X_2}{2}\right] = \frac{17}{4} \implies SEM = \frac{\sqrt{17}}{2}.$$Eine solche Probe wird mit Ersatz entnommen ; Die gemeinsame Verteilung ist a$4 \times 4$ Tabelle der bestellten Paare entnommen aus $P$;; z.B,$$(2,2), (2,5), (2,7), (2,10), \\ (5,2), (5,5), (5,7), (5,10) \\ (7,2), (7,5), (7,7), (7,10) \\ (10,2), (10,5), (10,7), (10,10),$$ und jedes solche Ergebnis hat Wahrscheinlichkeit $1/16$. Im Allgemeinen eine Stichprobe der Größe$n$ hätte eine gemeinsame Verteilung am Set bestellt $n$-Tupel, aus deren Elementen gezogen wird $P$.