Über Samuelson-Ungleichung

Question

Wenn wir eine Reihe von haben $n$ reale Nummern: $$\Omega=x_1,x_2,x_3,..,x_n$$ das arithmetische Mittel ist: $$A=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$$ und die Standardabweichung: $$S=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-A)^2}$$ Wenn der Satz von $n$ Zahlen sind so begrenzt, dass: $$m\le x_i\le M$$ Eine von Bhatia und Davies nachgewiesene Verfeinerung der Samuelson-Ungleichung ist: $$S^2\le (M-A)(A-m)$$Meine Frage ist: Wann gilt die Gleichheit? Gilt die Gleichheit für jede Art der Verteilung der Zahlen in$\Omega?$

Answer 1

Für jeden $i$ wir sehen das $S^2$ ist eine konvexe Funktion von $x_i$, was sagt: $$\max_{m\leq x\leq M}S^2=\max_{x_i\in\{m,M\}}S^2.$$ Im Idealfall tritt die Gleichheit für auf $x_1=x_2=...=x_k=m$ und $x_{k+1}=...=x_n=M.$

Jetzt müssen wir einen Wert von wählen $k$, für die wir einen Maximalwert erhalten.

Ich hoffe es wird helfen.