Variation des d'Alembertianischen Operators

Question

Ich arbeite in einer Quantengravitationstheorie mit höherer Ableitung und habe Probleme mit der Variation des d'Alembertschen Operators.

Angenommen, wir haben die folgende Aktion: \ begin {Gleichung} \ mathcal S [g] = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} R \: \ square ^ kR \ end {Gleichung} Wenn dies in Bezug auf die Metrik variiert wird Um die assoziierten Feldgleichungen aus dem Variationsprinzip zu finden, muss man etwas berechnen wie: \ begin {Gleichung} \ Delta \ left (\ square ^ kR \ right) \ end {Gleichung} Oder im einfachsten Fall: \ begin {Gleichung} \ Delta \ links (\ Quadrat R \ rechts) \ Ende {Gleichung}

Kann mir jemand helfen, die Variation dieses Begriffs zu finden?

Answer 1

Ich erinnere mich an die Definition des d'Alembertianers, der auf einen Skalar einwirkt $\phi$:: $$\square \phi = g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\phi = \frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\mu}\left(\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\partial_{\nu}\phi\right)$$Die erste Gleichheit ist einfach die Definition, die zweite Gleichheit ist eine Standardübung in GR-Kursen. Von einem GR-Kurs sollten Sie auch mit dem Variieren vertraut sein$g$usw. Von hier aus sollten Sie also in der Lage sein, zu rechnen. Es kann schneller sein, Ihre Aktion mithilfe unterschiedlicher Formulare neu zu schreiben.

Übrigens: Was bedeutet der Index? $k$ in deiner Notation?