Warum sind Maxwells Gleichungen nicht überbestimmt? [Duplikat]

Question

Betrachten Sie die vier Differentialgleichungen in der Tabelle angegebenen Wikipedia hier und annehmen , dass es nicht zu jedem Zeitpunkt Ladungsverteilung und damit auch kein Strom. Wenn keine Ladung vorhanden ist, reduzieren sich die vier Gleichungen auf Folgendes:

$\nabla\cdot E = 0$
$\nabla\cdot B = 0$
$\frac{\partial B}{\partial t} = -\nabla\times E$
$\frac{\partial E}{\partial t} = c^2\nabla\times B$

Die letzten beiden Gleichungen sagen uns, wie sich sowohl das magnetische als auch das elektrische Feld im Laufe der Zeit ändern. Angesichts einiger anfänglicher magnetischer und elektrischer Felder sollte man in der Lage sein, jeden zukünftigen Zustand beider Felder zu bestimmen. Dies lässt die ersten beiden Gleichungen für mich überflüssig erscheinen und somit scheint das System überbestimmt zu sein. Sie sind jedoch eindeutig notwendig, daher muss mir etwas fehlen. Sind die ersten beiden Gleichungen einfach Anfangsbedingungen?

Answer 1

Die ersten beiden Maxwell-Gleichungen beschreiben statische elektrische und magnetische Felder. Aus diesen Gleichungen lernen wir die geometrischen Eigenschaften solcher Felder und die Art der Kraftlinien, die diese Felder erzeugen. Der erste (wenn Ladung vorhanden ist)

$$\nabla \cdot \vec E = \rho$$

führt uns dazu, die Form des elektrischen Feldes für jede Art von Ladungsverteilung zu bestimmen. Dies ist äußerst wichtig für das Studium der Elektrostatik. Darüber hinaus kann diese Gleichung verwendet werden, um die Poisson-Gleichung abzuleiten.

$$\nabla^2 V = -\rho$$

Dadurch können wir das elektrostatische Potential bestimmen $V$für verschiedene Ladungsverteilungen. Wir können auch die obige Maxwell-Gleichung verwenden, um das Coulombsche Gesetz abzuleiten (obwohl dieses Gesetz nicht unbedingt nur ein direktes Ergebnis dieser Gleichung ist). Die Poisson-Gleichung ist auch ein sehr leistungsfähiges Werkzeug für das Studium der Elektrostatik. Diese Gleichung hat auch leistungsstarke Anwendungen in der Halbleiterphysik.

Die zweite Gleichung, die Sie erwähnen,

$$\nabla \cdot \vec B = 0$$

sagt uns etwas sehr Wichtiges, nämlich dass es keine magnetischen Monopole gibt. Die mathematische Implikation dieser Gleichung ist, dass ein magnetisches Vektorpotential existieren muss$\vec A$ wo

$$\vec B = \nabla \times \vec A$$

Dies ist ein starkes mathematisches Ergebnis. Dieses magnetische Vektorpotential ist in der klassischen Elektrodynamik und Quantenelektrodynamik allgegenwärtig.