Warum wiederholt sich pi nicht?
Ok, ich habe gerade das Pigeonhole-Prinzip (PHP) und seine Anwendung mit Dezimalerweiterung gelernt.
Um meine Frage klar zu vermitteln, muss ich mein Verständnis von PHP in Bezug auf die Dezimalerweiterung vermitteln.
Durch den langen Teilungsprozess können wir seitdem eine unendliche Anzahl von Resten erhalten $0$wird auch als Rest betrachtet (siehe, um Fig 1zu bekommen, was ich meine), was ist$>$endliche Anzahl möglicher Werte von Resten (nach dem Quotienten-Rest-Theorem,$0≤r<d $)
→ Mit PHP erhalten wir definitiv einen Rest, dessen Wert dem Wert eines vorherigen Rests entspricht (in Abb. 1 erzielen wir einen Treffer, wenn r 7 = r 1 ).
→ Als solches wird sich die Reihenfolge der Reste irgendwann unendlich wiederholen
→ Diese Folge von Resten kann entweder Nullen oder Nicht-Nullen sein
→ Wenn es sich um eine Folge von Nullen handelt, erhalten wir abschließende Dezimalstellen wie $2$(wie in $2.\color{red}{\overline{000}}\ldots$$... $ ) oder $ 3.625 $ (wie in $ 3.625 \ color {red} {\ overline {000}} \ ldots$$...$)
→ Wenn es sich um eine Folge von Nicht-Nullen handelt, erhalten wir eine sich wiederholende Dezimalstelle wie $3/14$=$0.2\color{red}{\overline{142857}}\ldots$
Meine Frage: Warum fällt PI nicht in eine dieser Kategorien? Verstößt es irgendwie gegen PHP ?
Entschuldigung für die Screenshots im Voraus.
Abb. 1:
Antworten
Der zweite Schritt Ihrer Schlussfolgerung muss besser begründet werden. Beachten Sie, dass in Ihrem Setup der Divisor$d$muss ganzzahlig sein, damit die Anwendung von PHP Sinn macht. Jetzt gibt es zwei Fälle.
Die Dividende ist eine ganze Zahl, die als dargestellt wird $n.00000\ldots$. Dann können Sie PHP verwenden, um zu argumentieren, dass bei einem Rest, der nach der Wiederholung des Dezimalpunkts erhalten wird. Also hast du$r_k=r_{k+n}$ zum $k,n$nach den Dezimalstellen erhalten. Dann müssen Sie weiter darüber streiten, dass es zu Fall kommt$0$ beim $r_{k+n}$ ergibt ein periodisches Teilungsmuster der Länge $n$ von da an raus, was eine eventuell wiederholte Dezimalstelle in Ihrer Antwort ergibt.
Die Dividende ist keine ganze Zahl, sondern eine beliebige reelle Zahl. In diesem Fall teilt Ihnen PHP mit, dass Sie doppelte Reste erhalten. Aber Sie werden nicht weiter argumentieren können, dass sich die Liste der Reste irgendwann wiederholt. Betrachten Sie zum Beispiel das Teilen$2$ in $0.10100100010000\ldots$ (hier habe ich $1$ gefolgt von $n$ Nullen für $n=1$ zu $\infty$). Ihre Liste der Reste ist$0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0\ldots$ohne Wiederholung. Selbst wenn Sie eine sich wiederholende Folge von Resten erhalten würden, würde dies nicht unbedingt bedeuten, dass Ihre Antwort eine sich wiederholende Dezimalstelle ist. Betrachten Sie zum Beispiel eine beliebige reelle Zahl$x$, als Dezimalzahl dargestellt $a_0.a_1a_2a_3\ldots$. Machen Sie die triviale lange Teilung von$1$ in $x$. Sie erhalten den Rest$0$ jedes Mal, aber die Dezimalfolge im Quotienten muss sich nicht (irgendwann) wiederholen.
Nun zu $\pi$, Hat es in den zweiten Fall passen , denn wenn Sie Ihre lange Division mit dem Dividend und Divisor ganzen Zahlen beginnen, dann sind Sie bereits eine rationale Zahl zu berechnen.
$\pi$ist eine transzendentale Zahl und keine rationale. Das PHP-Argument scheint auf rationale Zahlen zuzutreffen.
Sie haben angenommen, dass Sie rechnen können $\pi$ durch Teilen einer Zahl mit einer bekannten, endlichen Anzahl von Ziffern durch eine andere Zahl mit einer bekannten, endlichen Anzahl von Ziffern.
Dies ist genau die Definition dessen, was es bedeutet, dass eine Zahl rational ist. Und in der Tat ist Ihr Argument ein korrekter Beweis dafür, dass sich die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl wiederholt.
Aber $\pi$ist nicht rational. Es kann nicht berechnet werden, indem eine Zahl mit einer bekannten, endlichen Anzahl von Ziffern durch eine andere Zahl mit einer bekannten, endlichen Anzahl von Ziffern geteilt wird.