Was ist das Inverse / Gegenteil eines Doppelintegrals?

Question

Ich nehme gerade Calc 3 und wir haben gerade unsere Einheit mit Doppel- / Dreifachintegralen fertiggestellt. Ich begann über ein Problem aus der AP-Physik nachzudenken (wo mein Lehrer beeindruckend viel Hand winkte, um die direkte Erklärung der Vektorrechnung bei der Erörterung von Maxwells Gleichungen zu vermeiden, was dazu führte, dass ich ein ganzes Semester damit verbrachte, verwirrt darüber zu sein, wie der verdammte Fluss aussehen sollte oder warum es wichtig sein sollte), worauf es im Grunde ankommt$\iiint_D{F(x, y, z)}{dV}=Q(D)$. In Calc 1 und 2, wenn Sie eine Gleichung der Form haben$\int{f(x)}{dx}=g(x)$, dann können Sie das "inverse Integral" (dh die Ableitung in Bezug auf x) beider Seiten nehmen, was ergibt $f(x)=\frac{d}{dx}g(x)$. Ich kann jedoch nicht herausfinden, was das Analogon für ein Doppel- oder Dreifachintegral wäre. Was ist die entgegengesetzte / inverse Operation für ein Doppel- oder Dreifachintegral über eine Domäne?$D$?

Answer 1

Es ist bequem, aber irreführend zu schreiben $\int f(x) \, dx = g(x)$. Die RHS ist eine Funktion von$x$ Aber die LHS ist erst, wenn Sie einige Grenzen der Integration aufschreiben und wenn Sie das Innere tun $x$ wurde über integriert, so dass es sich um eine "Dummy-Variable" handelt, die nichts mit dem zu tun hat $x$auf der rechten Seite. Weniger zweideutig ist zu schreiben

$$\int_a^x f(t) \, dt = g(x)$$

das macht die Abhängigkeit von $x$ der LHS klar und betont, dass die Variable, über die integriert wird, eine Dummy-Variable ist.

Dies ist nicht nur Pedanterie; Dabei geht es darum zu betonen, was sich ändert, wenn Sie von Integralen zu Doppelintegralen wechseln. Um sich ein Doppelintegral als Funktion zweier Variablen und nicht nur als Funktion einer Region vorzustellen, über die integriert wird, müssen Regionen ausgewählt werden, über die integriert werden soll, die durch zwei Parameter definiert sind. Eine einfache Wahl ist ein Rechteck$[a, x] \times [b, y]$, mit dem wir Ausdrücke wie schreiben können

$$\int_{t=b}^y \int_{s=a}^x f(s, t) \, ds \, dt = g(x, y)$$

und wenn wir solche Dinge einrichten, können wir uns erholen $f$ durch zweimaliges Differenzieren unter zweimaliger Verwendung des Grundsatzes der Analysis:

$$f(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} g(x, y).$$

Dies verallgemeinert auf $n$Abmessungen auch. Es ist jedoch hervorzuheben, dass wir uns dazu für die Integration über Rechtecke entscheiden mussten, und es gibt viele andere Möglichkeiten, Regionen zu parametrisieren, um sie zu integrieren, die wir stattdessen treffen könnten.

Answer 2

Um Qiaochu Y. zu ergänzen, beachten Sie, dass genau wie wir schreiben $$ \eqalign{ & \int {f(x)dx} = g(x) = \int_{t = a}^x {f(t)dt} + c = \int\limits_{t \in \left[ {a,x} \right]} {f(t)dt} + c\quad \Rightarrow \quad \cr & \Rightarrow \quad d\int_{t = a}^x {f(t)dt} = \int\limits_{t \in \left[ {x,x + dx} \right]} {f(t)dt} = f(x)dx = {d \over {dx}}g(x)dx \cr} $$ mit allen Vorsichtsmaßnahmen hinsichtlich der Kontinuität und mit der algebraischen Bedeutung für negativ $dx$,

dann schreiben wir gerade in der Physik oft $$ \eqalign{ & \int\!\!\!\int\limits_A {f(x,y)dxdy} = \int\!\!\!\int\limits_A {f(x,y)\delta A} = g(A)\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad \delta \int\!\!\!\int\limits_A {f(x,y)\delta A} = \int\!\!\!\int\limits_{\delta A} {f(x,y)dxdy} = {d \over {dA}}g(A)\,\delta A \cr} $$ bei dem die $\delta A$ wird auch mit dem Vorzeichen genommen.

Von hier aus erreichen wir https://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_theorem.