Was sind die Eigenwerte des Krümmungsoperators? $\mathbb{C}P(2)$?

Question

Ich habe versucht, dies beim Stapelaustausch zu erfragen, war jedoch nicht erfolgreich.

Auf Seite 150 von Abschnitt 4.5.3 der Riemannschen Geometrie von Peter Petersen wird darauf hingewiesen, dass auf orthonormaler Basis$X,iX,Y,iY$ zum $T_p\mathbb{C}P^2$Die folgende Basis diagonalisiert den Krümmungsoperator $\mathfrak{R}:\Lambda^2T_p\mathbb{C}P^2 \to \Lambda^2T_p\mathbb{C}P^2 $::

\begin{align*} &X \wedge iX \pm Y \wedge iY\\ & X \wedge Y \pm iX \wedge iY \\ & X \wedge iY \pm Y \wedge iX \end{align*}

mit Eigenwerten in $[0,6]$. Ich habe versucht, die Berechnungen mit der O'Neill-Formel durchzuführen, stecke aber fest. Zum Beispiel annehmen$\mathfrak{R}(X \wedge iX + Y \wedge iY)=c \left(X \wedge iX + Y \wedge iY\right)$. Dann:

\begin{align*} g(\mathfrak{R}(X \wedge iX + Y \wedge iY),X \wedge iX + Y \wedge iY)&=cg(X \wedge iX + Y \wedge iY,X \wedge iX + Y \wedge iY)\\ &=2c \end{align*}

und nach der Definition von $\mathfrak{R}$::

\begin{align*} &g(\mathfrak{R}(X \wedge iX + Y \wedge iY),X \wedge iX + Y \wedge iY) \\ &=R(X,iX,iX,X)+R(Y,iY,iY,Y)+2R(X,iX,iY,Y) \\ &=\sec(X,iX)+\sec(Y,iY)+2R(X,iX,iY,Y) \\ &=8+2R(X,iX,iY,Y) \end{align*}

so:

\begin{align*}2c &= 8+2R(X,iX,iY,Y) \\ c&=4+R(X,iX,iY,Y) \end{align*}

Zu diesem Zeitpunkt weiß ich nicht, wie ich vorgehen soll. Ich kenne eine Formel zum Erweitern$R(X,iX,iY,Y)$in Bezug auf Schnittkrümmungen ist es aber ziemlich kompliziert. Alternativ kehren wir zur O'Neill-Formel zurück, die wir haben:

\begin{align*}R(X,iX,iY,Y)=&\overline{R}(\overline{X},\overline{iX},\overline{iY},\overline{Y})+\frac14 \overline{g} ([\overline{iX},\overline{Y} ],[\overline{X},\overline{iY}])-\frac14 \overline{g}([\overline{X},\overline{Y}],[\overline{iX},\overline{iY}]) \\ &+ \frac12 \overline{g} ([ \overline{X},\overline{iX}],[\overline{iY},\overline{Y}] )\end{align*}

wo $\overline{R}$ bezeichnet den Krümmungstensor an $S^5$, $\overline{g}$ bezeichnet die Metrik ein $S^5$, und $\overline{V}$bezeichnet einen horizontalen Auftrieb. Schon seit$X,iX,Y,iY$ sind orthonormal und ihre Aufzüge sind auch orthonormal, nehme ich an $\overline{R}(\overline{X},\overline{iX},\overline{iY},\overline{Y})=0$ so bleiben wir mit

\begin{align*}R(X,iX,iY,Y)=&\frac14 \overline{g} ([\overline{iX},\overline{Y} ],[\overline{X},\overline{iY}])-\frac14 \overline{g}([\overline{X},\overline{Y}],[\overline{iX},\overline{iY}]) + \frac12 \overline{g} ([ \overline{X},\overline{iX}],[\overline{iY},\overline{Y}] )\end{align*}

Habe ich etwas verpasst, das das Training erleichtern soll?

edit: Ich folgte mit der ersten Idee (Erweiterung $R(X,iX,iY,Y)$ in Bezug auf Schnittkrümmungen) und bekam, dass die Eigenwerte sind $0,0,2,2,2,6$. Angesichts dessen$\mathbb{C}P(2)$ ist Einstein mit Einstein-Konstante $6$ und Skalarkrümmung $12$Ich bin versucht zu glauben, dass die Eigenwerte korrekt sind (da ihre Summe gleich ist $12$).

Answer 1

Vielleicht wäre es einfacher, es direkt aus den Strukturgleichungen zu berechnen. Angenommen, wir wollten die Eigenwerte des Krümmungsoperators für berechnen$\mathbb{CP}^n=\mathrm{SU}(n{+}1)/\mathrm{U}(n)$. Ich behaupte, dass sie sind$0$ mit Vielzahl $n(n{-}1)$, $2$ mit Vielzahl $n^2{-}1$, und $2(n{+}1)$ mit Vielzahl $1$. So sehen Sie das: Schreiben Sie das linksinvariante Formular auf$\mathrm{SU}(n+1)$ wie $$ \lambda = \begin{pmatrix} -i\,n\,\rho & -^t\omega+i\,^t\eta\\ \omega+i\,\eta &\alpha + i\rho\,I_n + i\,\beta\end{pmatrix} $$ wo $\omega$ und $\eta$ sind Spalten der Höhe $n$, $\alpha = -\ ^t\alpha$ und $\beta = {}^t\beta$ während $\mathrm{tr}(\beta)=0$. Das Zurückziehen der Metrik auf$\mathbb{CP}^n$ zu $\mathrm{SU}(n{+}1)$ ist die quadratische Form $g = \ ^t\omega\circ\omega + ^t\eta\circ\eta$. Die Maurer-Cartan-Gleichung$\mathrm{d}\lambda = -\lambda\wedge\lambda$ packt aus $$ \mathrm{d}\begin{pmatrix}\omega\\ \eta\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix}\alpha & -(n{+}1)\rho I_n-\beta \\ (n{+}1)\rho I_n+\beta & \alpha \end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}\omega \\ \eta\end{pmatrix} $$ zusammen mit den Gleichungen $$ \begin{align} \mathrm{d}\rho &= -2/n\,{}^t\omega\wedge\eta\\ \mathrm{d}\alpha + \alpha\wedge\alpha - \beta\wedge\beta &= \omega\wedge {}^t\omega + \eta \wedge {}^t\eta\\ \mathrm{d}\beta +\beta\wedge\alpha-\alpha\wedge\beta &= \eta\wedge {}^t\omega- \omega\wedge {}^t\eta + (2/n) {}^t\omega\wedge\eta\, I_n\,. \end{align} $$ Folglich ist die Matrix $$ \theta = \begin{pmatrix}\alpha & -(n{+}1)\rho I_n-\beta \\ (n{+}1)\rho I_n+\beta & \alpha \end{pmatrix} $$ ist die Levi-Civita-Verbindungsmatrix für die Metrik $g$und seine Krümmung ist $$ \begin{align} \Theta &= \mathrm{d}\theta+\theta\wedge\theta\\ &= \begin{pmatrix}\omega\wedge {}^t\omega + \eta \wedge {}^t\eta & 2\,{}^t\omega\wedge\eta\,I_n -\eta\wedge {}^t\omega+\omega\wedge {}^t\eta \\ -2\,{}^t\omega\wedge\eta\,I_n +\eta\wedge {}^t\omega- \omega\wedge {}^t\eta & \omega\wedge {}^t\omega + \eta \wedge {}^t\eta \end{pmatrix}. \end{align} $$ Jetzt, $\theta$ (und daher $\Theta$) nimmt Werte in der Subalgebra an ${\frak{u}}(n)\subset{\frak{so}}(2n)\simeq\Lambda^2(\mathbb{R}^{2n})$, wo ${\frak{u}}(n) = {\mathbb{R}}\cdot J + {\frak{su}}(n)$ mit $J = \begin{pmatrix} 0_n & I_n\\ -I_n & 0_n\end{pmatrix}$ und ${\frak{su}}(n)$ sind die schrägsymmetrischen Matrizen der Form $\begin{pmatrix} a & b\\ -b & a\end{pmatrix}$ wo $a$ ist $n$-durch-$n$ schiefsymmetrisch und $b$ ist $n$-durch-$n$symmetrisch und spurenfrei. Daraus folgt der Krümmungsoperator$R$ (was symmetrisch ist) vernichtet alles in ${\frak{u}}(n)^\perp\subset {\frak{so}}(2n)$, ein Vektorraum der Dimension $n(n{-}1)$Diese Kernel-Eigenvektoren haben also alle einen Eigenwert $0$. Nehmen Sie die$J$-Spur $\Theta$, wir sehen das $R$ hast $J$ als Eigenvektor des Eigenwertes $2(n{+}1)$. Der Unterraum${\frak{su}}(n)$ ist nicht reduzierbar und muss von abgebildet werden $R$ zu einem skalaren Vielfachen von sich selbst und Paarung mit einem typischen Element sehen wir, dass der Multiplikator ist $2$. So,$2$ ist ein Eigenwert der Multiplizität $n^2{-}1$, die Dimension von ${\frak{su}}(n)$.