Wenn $A\subseteq B\cup C$ dann $A\subseteq B$ oder $A\subseteq C$.

Question

Die Frage ist zu beweisen oder zu widerlegen

Wenn $A\subseteq B\cup C$ dann $A\subseteq B$ oder $A\subseteq C$.

Ich weiß, dass dies falsch ist und leicht mit einem Beispiel widerlegt werden kann, aber ich habe versucht, es zu beweisen, und ich habe tatsächlich den Beweis erbracht, dass ich weiß, dass es falsch ist, aber ich weiß nicht, warum es falsch ist. Ich habe es zunächst in dieses konvertiert :: $$x\in A\implies x\in B\cup C$$ $$x\notin A\lor x\in B\lor x\in C$$ $$(P\lor P\equiv A,A\lor B\equiv B\lor A)\text{ so}$$ $$x\notin A\lor x\in B\lor x\notin A\lor x\in C$$ $$(x\in A\implies x\in B)\lor(x\in A\implies x\in C)$$ $$A\subseteq B\lor A\subseteq C$$ und ich möchte wissen, warum dieser Beweis falsch ist und wo genau mein Fehler ist.

Answer 1

Zeile 4 enthält einen Tippfehler ($B$ sollte sein $C$). Ihr Fehler ist, dass Sie Quantifizierer vernachlässigen. Im Wesentlichen ist Ihr Fehler, dass Sie verwendet haben

$$\forall x: (P(x) \lor Q(x))\implies (\forall x: P(x)) \lor (\forall x: Q(x))$$

Das ist aber definitiv nicht wahr.

Answer 2

Alles bis zur fünften Zeile ist im Wesentlichen korrekt (modulo den Tippfehler in Zeile 4).

Es fehlen jedoch Quantifizierer. $A \subseteq B \cup C$ist nicht gleichbedeutend mit$x \in A \implies x \in B \cup C$: Letzteres hat eine ungebundene $x$darin, während der erstere nicht. Es ist stattdessen gleichbedeutend mit$\forall x (x \in A \implies x \in B \cup C)$. Wenn wir das bis zum Ende fortsetzen, erhalten wir in Zeile fünf:$\forall x ((x \in A \implies x \in B) \vee (x \in A \implies x \in C))$. Das ist nicht dasselbe wie$(\forall x (x \in A \implies x \in B)) \vee (\forall x (x \in A \implies x \in C)),$ was ist gleichbedeutend mit $A \subseteq B$ oder $A \subseteq C$.

Und tatsächlich ist das Ergebnis falsch: Lassen Sie $B$ und $C$ sei so, dass weder $B \subseteq C$ Noch $C \subseteq B$. Dann mit$A := B \cup C$haben wir offensichtlich $A \subseteq B \cup C$, aber wir können nicht haben $A \subseteq B$ (Sonst hätten wir $C \subseteq B$) oder $A \subseteq C$ (sonst $B \subseteq C$).