एक अद्वितीय टोपोलॉजी का निर्धारण करने वाले आधार
जब मैं मुनरेस की टोपोलॉजी पढ़ता हूं , तो मुझे लगता है कि अगर हमारे पास एक आधार है$\mathscr{B}$ एक सेट पर $X$, फिर आधार विशिष्ट रूप से एक टोपोलॉजी को निर्धारित करता है $X$; यह है, अगर हम दो टोपोलॉजी है$\mathscr{T}_1, \mathscr{T}_2$ उसी आधार के साथ $\mathscr{B}$, तब फिर $\mathscr{T}_1=\mathscr{T}_2$। मुझे यकीन नहीं है कि मैं सही हूं क्योंकि मैं इसे परिभाषा में नहीं देख सकता, जो इस प्रकार है:
अगर $X$ सेट किया गया है, एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार है $X$ एक संग्रह है $\mathscr{B}$ के सबसेट $X$ (जिन्हें आधार तत्व कहा जाता है) प्रत्येक के लिए ऐसा $x\in X$, कम से कम एक है $B\in \mathscr{B}$ ऐसा है कि $x\in B$ और अगर $x\in B_1\cap B_2$, कहां है $B_1, B_2\in \mathscr{B}$, तो वहां मौजूद है $B_3\in \mathscr{B}$ ऐसा है कि $x\in B_3\subset B_1\cap B_2$।
इसके अलावा, आधार $\mathscr{B}$ एक टोपोलॉजी उत्पन्न करता है
$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{ U\subset X: \text{for each $यू में x \ _$, there exists $B गणित में {B}$ such that $x \ B में \ सबसेट U$}\right\}$,
जिसमें सबसे छोटी टोपोलॉजी है $\mathscr{B}$। इसलिए, मुझे लगता है कि यह संभावना है कि वे टोपोलॉजी जिनके आधार हैं$\mathscr{B}$ के बराबर होना चाहिए $\mathscr{T}_\mathscr{B}$।
वैसे, मैंने आर्टिकल यूनीकनेस ऑफ़ टोपोलॉजी एंड बेसिस से परामर्श किया है और टिप्पणियों में से एक (हेनो द्वारा छोड़ी गई) मेरे कूबड़ को सही ठहराने वाली लगती है और उन्होंने किसी भी खुले सेट का उल्लेख किया$O$ के तत्वों का एक संघ है $\mathscr{B}$, तोह फिर $O$ पहले से ही टोपोलॉजी में है $\mathscr{T}_\mathscr{B}$, लेकिन वे कैसे जान सकते थे $O$बस इस तरह से आधार की परिभाषा लिखी जा सकती है? मेरा मतलब है, मुनरेस की किताब में, उन्होंने मेरी समझ से, 13.1 लीमेमे में उल्लेख किया है$\mathscr{T}_\mathscr{B}=\left\{\cup_\alpha B_\alpha:B_\alpha \in \mathscr{B}\right\}$, यह कहने के विपरीत है कि यह आधार के साथ किसी भी टोपोलॉजी के लिए है $\mathscr{B}$। शायद मैं इस बिंदु पर गलत समझ रहा हूं।
कोई भी मदद सचमुच सराहनीय होगी!!
जवाब
हम कहते हैं कि टोपोलॉजी $\mathcal T$ आधार है $\mathcal B$ अगर $\mathcal T_{\mathcal B}=\mathcal T$।
इस प्रकार, यह तत्काल है कि यदि दो टोपोलॉजी का आधार समान है तो वे मेल खाते हैं।
कह रहे हैं कि हर के लिए $x\in U$ वहाँ है $B_x\in\mathcal B$ ऐसा है कि $x\in B_x\subseteq U$ यह कहने के बराबर है $U$ के तत्वों का मिलन है $\mathcal B$, विशेष रूप से $U=\bigcup_{x\in U}B_x$।
आपको जो याद आ रहा है, वह है
एक सेट $\mathcal B$ के सबसेट $X$ एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार है (अर्थ $\mathcal T_{\mathcal B}=\left\{\bigcup \mathcal D:\mathcal D\subseteq\mathcal B\right\} $ एक टोपोलॉजी है) यदि और केवल यदि दी गई शर्तें हैं, अर्थात $\forall x\in X\,\exists B\in\mathcal B: x\in B$ तथा $\forall x\in X\,\forall B_1,B_2\in\mathcal B\ x\in B_1\cap B_2\implies \exists B\in\mathcal B: x\in B\subseteq B_1\cap B_2$।
मैं सभी खुले सेटों के संग्रह के रूप में टोपोलॉजी की परिभाषा से शुरू करूंगा। अब ध्यान दें कि हर एक खुले सेट को प्रत्येक आधार तत्व के सेट-सिद्धांत- संघ के रूप में लिखा जा सकता है जिसमें एक बिंदु होता है$x \in U$, अर्थात्, $U = \bigcup_{x\in U} B_x $। अब ध्यान दें कि, किसी टोपोलॉजी के आधार के आधार पर, आप हमेशा दो आधार तत्व ले सकते हैं$B_1, B_2$ गैर-रिक्त चौराहे के साथ और उनमें तीसरा आधार तत्व खोजें (इसे कॉल करें $B_3$) का है। फिर भी, संग्रह के बिना उत्पन्न टोपोलॉजी $B_3$और एक साथ $B_3$ बिल्कुल वैसा ही है और यह इस तथ्य से आता है कि यदि हम पहले से ही सेट में शामिल किए गए सेट को जोड़ते हैं तो सेट-थ्योरेटिकल यूनियन नहीं बदल रहा है $B_1$ तथा $ B_2$। यही अर्थ है जब मुनरेस लिखते हैं कि टोपोलॉजी के लिए एक आधार एक वेक्टर अंतरिक्ष के लिए एक आधार की तरह नहीं है। तो, इस दृष्टिकोण से आप देख सकते हैं कि चूंकि सेट-थ्योरिटिक यूनियन ऑफ़ ऑल (फिक्स्ड) ओपन सेट एक अनोखी वस्तु है, तो आप कह सकते हैं कि एक आधार टोपोलॉजी निर्धारित करता है, लेकिन कांसेप्ट नहीं।