का एम्बेडिंग $\sqrt{|i-j|}$ में दूरी $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$

Question

मीट्रिक स्थान पर विचार करें $(X=\{1,\ldots,n\},d)$ ऐसा है कि:

$$d(i,j)=\sqrt{|i-j|}$$

कर सकते हैं $(X,d)$ सम्‍मिलित रूप से सम्‍मिलित होना $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$? अगर ऐसा है, तो क्या हम कुछ प्राकृतिक आइसोमेट्री खोज सकते हैं$\phi:X\to \mathbb{R}^n$?

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कुछ संदर्भ जोड़ने के लिए, मैं यादृच्छिक चलना पर विचार करता हूं:

$$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$$

जहां $X_i$स्वतंत्र मानक गाऊसी हैं। $S=(S_1,\ldots,S_n)$ आम तौर पर वितरित किया जाता है (क्योंकि प्रत्येक दिशा के साथ इसके अनुमान हैं), इसलिए वहां मौजूद होना चाहिए $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}^n$ ऐसा है कि:

$$S\equiv (\langle a_1,g\rangle,\ldots,\langle a_n,g\rangle)$$

कहां है $g$ एक है $n$- आयामी मानक गाऊसी। लेकिन यह पता चला है:$$|i-j|=\mathbb{E}(S_i-S_j)^2=\lVert a_i-a_j\rVert^2$$

जिसका अर्थ है एम्बेडिंग का अस्तित्व। मैं सोच रहा था कि क्या इसका एक स्पष्ट प्रमाण मौजूद है (निश्चित रूप से, वहाँ होना चाहिए!)।

Answer 1

यहां ऐसी एम्बेडिंग है: परिभाषित करें $$ \phi(j) = (\overbrace{1,\dots,1}^j,0,\cdots,0). $$