कैंटर की असामान्य परिभाषा
मैंने कैंटर सेट की कई परिभाषाएं देखी हैं, लेकिन वे सभी मेरे से अलग दिखते हैं। मेरी पुस्तक एक कैंटर सेट को परिभाषित करती है:
फॉर्म की सभी वास्तविक संख्याओं का समूह $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}3^{-n}$ कहाँ पे $a_{n}$ मूल्यों में से एक या अन्य लेता है $0$ या $2$।
यह कैसा सेट है? मुझे समझ में नहीं आ रहा है कि वे "कहाँ" के साथ क्या मतलब रखते हैं$a_{n}$ मूल्यों में से एक या अन्य लेता है $0$ या $2$“इसका मतलब है कि $a_{n}$ वैकल्पिक की तरह $0$, $2$, $0$, $2$? क्या आप लोग मुझे इस सेट में कुछ मूल्य दे सकते हैं? और इसका इस छवि से क्या लेना देना है जो मैं हर जगह देखता हूं?
जवाब
आपकी पुस्तक का अर्थ है कि कैंटर सेट संख्याओं का समूह है $x$ कि फार्म में लिखना संभव है $\sum_{n=1}^{\infty}a_n3^{-n}$ कुछ अनुक्रम के लिए $a_n$ जहां प्रत्येक $a_n$ या तो $0$ या $2$। थोड़ा घनी, आप या तो कह सकते हैं:
में एक नंबर $[0,1]$ कैंटर सेट में है, अगर इसे दो बार अलग-अलग शक्तियों के योग के रूप में लिखा जा सकता है $3$।
एक संख्या $x$ में $[0,1]$ कैंटर सेट में है, अगर इसमें टर्नरी विस्तार है जो कभी भी उपयोग नहीं करता है $1$। (यह ऊपर के समान ही है, यह समझते हुए कि टेरानरी विस्तार बस एक दशमलव बिंदु लिखें "संख्याओं का एक गुच्छा है।"$\{0,1,2\}$ और के योग पर विचार करें $n^{th}$ अवधि के समय $3^{-n}$ सब पर $n$")
विशेष $x$ कहाँ पे $a_n$ के बीच का विकल्प $0$ तथा $2$ इसलिए कैंटर सेट में (यह है) $x$ बराबर $1/4$), लेकिन बेशुमार कई अन्य क्रम हैं $a_n$ जिनके केवल मूल्य हैं $0$ तथा $2$, जो सभी कैंटर के अलग-अलग तत्वों को निर्धारित करते हैं।
आपके द्वारा दिखाई गई छवि एक अंतराल लेकर बार-बार सेट करने और प्रत्येक अंतराल के मध्य तीसरे को हटाने से पता चलता है। इससे उन सेटों का एक क्रम प्राप्त होता है जो छोटे और छोटे हो जाते हैं - और उन सभी सेटों का प्रतिच्छेदन कैंटर सेट होता है, और ठीक उसी प्रकार से जो आपकी पुस्तक को परिभाषित करता है। तुलनीय विस्तार में समतुल्यता सबसे स्पष्ट है:
सबसे पहले, आप अंतराल है $[0,1]$। फिर आप अंतराल को हटा दें$(1/3,2/3)$ क्योंकि उनके टर्नरी विस्तार का पहला कार्यकाल होना चाहिए $.1\ldots_3$, जिसका अर्थ है कि उन्हें वांछित रूप में नहीं लिखा जा सकता है। फिर, आप हटा दें$(1/9,2/9)$ तथा $(7/9,8/9)$ जिनकी त्रैमासिक विस्तार शुरू होता है $.01\ldots_3$ तथा $.21\ldots_3$ क्योंकि, जबकि उनका पहला अंक ठीक है (जा रहा है) $0$ या $2$), उनका दूसरा अंक नहीं है। फिर आप उन नंबरों को हटा देंगे जिनकी टेनरी विस्तार शुरू होती है$.001\ldots_3$ या $.021\ldots_3$ या $.201\ldots_3$ या $.221\ldots_3$ और इसी तरह - और अंत में बचे एकमात्र नंबर वे होंगे जो केवल एक टेनेरी विस्तार के साथ लिखे जा सकते हैं $0$'रेत $2$'s - जो ठीक उसी संख्या का समूह है जिसे आपकी पुस्तक के रूप में लिखा जा सकता है।