निम्नलिखित सीमा कैसे प्राप्त करें: $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$
निम्नलिखित सीमा कैसे प्राप्त करें:
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$$
अगर मैं देता $x=r\cos \theta$ तथा $y=r\sin \theta$ कहां है $\theta\in (0, \pi/2)$, तब फिर $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\frac{r^5\cos^4\theta\sin\theta}{r^8\cos^8\theta+r^2\sin^2\theta}$$
ऐसा लगता है कि सीमा मौजूद नहीं है।
जवाब
इस मामले में, अक्सर एक बेहतर रणनीति यह होती है कि घातांक के परिवर्तन को भाजक के बराबर बनाने के लिए उपयोग किया जाए $x^4=u$ तथा $y=v$ तब फिर
$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\lim_{(u,v)\to (0,0)}\frac{uv}{u^2+v^2}$$
और हम ध्रुवीय निर्देशांक द्वारा उदाहरण के लिए आसानी से निष्कर्ष निकाल सकते हैं या दो अलग-अलग रास्ते मान सकते हैं $u=\pm v$।
वक्र के साथ $y=x^{4}$ सीमा है $\frac 1 2 $ और साथ में $y=0$ यह है $0$। इसलिए सीमा मौजूद नहीं है।