निम्नलिखित सीमा कैसे प्राप्त करें: $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$

Aug 17 2020

निम्नलिखित सीमा कैसे प्राप्त करें:

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=?$$

अगर मैं देता $x=r\cos \theta$ तथा $y=r\sin \theta$ कहां है $\theta\in (0, \pi/2)$, तब फिर $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\frac{r^5\cos^4\theta\sin\theta}{r^8\cos^8\theta+r^2\sin^2\theta}$$

ऐसा लगता है कि सीमा मौजूद नहीं है।

जवाब

3 user Aug 17 2020 at 15:54

इस मामले में, अक्सर एक बेहतर रणनीति यह होती है कि घातांक के परिवर्तन को भाजक के बराबर बनाने के लिए उपयोग किया जाए $x^4=u$ तथा $y=v$ तब फिर

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4y}{x^8+y^2}=\lim_{(u,v)\to (0,0)}\frac{uv}{u^2+v^2}$$

और हम ध्रुवीय निर्देशांक द्वारा उदाहरण के लिए आसानी से निष्कर्ष निकाल सकते हैं या दो अलग-अलग रास्ते मान सकते हैं $u=\pm v$

1 KaviRamaMurthy Aug 17 2020 at 15:50

वक्र के साथ $y=x^{4}$ सीमा है $\frac 1 2 $ और साथ में $y=0$ यह है $0$। इसलिए सीमा मौजूद नहीं है।