Hitung nilai $f(x)$

Question

$$x^2+\int_{0}^{x}e^{-t}f(x-t)dt=f(x)$$

​
Guru saya menyuruh saya untuk membedakan fungsi ini dan kemudian mengatur ulang untuk mengintegrasikan.

Pertama, saya mengganti $x-t=p$;$-dp=dt$. Karena itu,$$x^2+e^{-x}.\int_{0}^{x}e^{p}f(p)dp=f(x)$$Jadi, ketika saya menerapkan aturan Leibniz, Dalam variabel pengintegrasian, dapatkah saya meletakkan x sebagai ganti p? Itulah titik di mana saya terjebak dan tidak tahu harus berbuat apa. Adakah yang bisa membantu saya?

Answer 1

Diberikan $$x^2+\int_{0}^{x}e^{-t}f(x-t)dt=f(x)$$ kemudian dengan diferensiasi: \begin{align} 2 \, x + e^{-x} \, f(0) + \int_{0}^{x} e^{-t} \, f'(x-t) \, dt &= f'(x) \\ 2 \, x + f(0) \, e^{-x} + [- e^{-t} \, f(x-t) ]_{0}^{x} - \int_{0}^{x} e^{-t} \, f(x-t) \, dt &= f'(x) \\ 2 \, x + f(x) - [ f(x) - x^2 ] &= f'(x) \\ 2 \, x + x^2 &= f'(x) \end{align} dan mengarah ke $$ f(x) = x^2 + \frac{x^3}{3} + c_{0}.$$ Sekarang, kapan $x=0$ persamaan asli menghasilkan $f(0) = 0$ dan mengarah ke $$ f(x) = x^2 + \frac{x^3}{3}. $$

Sebagai perbandingan, seseorang dapat menggunakan konvolusi integral dengan transformasi Laplace. Dalam pandangan ini ditentukan bahwa:\begin{align} \mathcal{L}\{ f(t) \} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \, f(t) \, dt \\ \frac{2}{s^2} + \mathcal{L}\{e^{-x}\} \, f(s) &= f(s) \\ \frac{2}{s^2} + \frac{f(s)}{s+1} &= f(s) \\ f(s) &= \frac{2(s+1)}{s^4} = \frac{2}{s^3} + \frac{2}{s^4} \end{align} dan hasil transformasi terbalik $$ f(x) = x^2 + \frac{x^3}{3}. $$

Kedua metode diakhiri dengan solusi yang sama.

Answer 2

Petunjuk:

Sebelum membedakan, ubah

$$\int_0^x e^{-t}f(x-t)\,dt=\int_0^x e^{t-x}f(t)\,dt=e^{-x}\int_0^x e^{t}f(t)\,dt$$ dan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus.

Answer 3

Saya menemukan metode lain;

$$x^2+e^{-x}.\int_{0}^{x}e^{p}f(p)dp=f(x)$$

Dengan menerapkan aturan perkalian diferensiasi,

$$f(x).g(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)$$

Kita mendapatkan,

$$2x-e^{-x}.\int_{0}^{x}e^{p}f(p)dp+f(x)=f'(x)$$

Sejak, $$e^{-x}.\int_{0}^{x}e^{p}f(p)dp=f(x)-x^{2}$$

Oleh karena itu, setelah substitusi kita dapatkan,

$$2x-(f(x)-x^2)+f(x)=f'(x)$$ $$f'(x)=2x+x^2$$

Karena itu, $$f(x)=x^{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Dan di sini, $c=0$ sebagai $f(0)=0$;