Norma dan Tindakan Operator

Question

Kami mendefinisikan norma operator sebagai $\left\lVert A \right\rVert = \sup \frac{\left\lVert A\psi \right\rVert}{ \left\lVert A \right\rVert} = \sup \left\lVert A\psi \right\rVert$ untuk $A ∈ L(H)$. Dikatakan bahwa$||A||$ mengukur besarnya aksi $A$.

Yang dimaksud dengan aksi $A$ dan apa sup dalam persamaan ini?

Juga, bagaimana kita bisa memeriksa apakah $A$ terikat atau tidak dengan pernyataan ini?

Answer 1

Seorang operator tidak dibatasi jika norma supremumnya tidak terbatas. Ini mengikuti secara sepele dengan meniadakan definisi operator terikat di ruang preBanach.

"Operator linier $A :D(A) \rightarrow X$ disebut dibatasi, iff

$$\forall \psi\in D(A), \exists k\in \mathbb R, \text{so that} ||A\psi|| \leq k ||\psi||. $$

Nilai maksimum $k$ atas domain A disebut norma supremum A.

Answer 2

Angka sup dalam persamaan tersebut adalah supremum atas semua negara bagian di luar ruang Hilbert $\mathcal{H}$. Dengan kata lain, Anda memilih negara bagian$|\psi\rangle$ dari $\mathcal{H}$ untuk nomor yang mana $\frac{\mid\mid A|\psi\rangle\mid\mid}{\mid\mid |\psi\rangle\mid\mid}$menjadi yang terbesar. Dapat ditunjukkan bahwa norma operator$A$ sesuai dengan nilai eigen terbesar dari $\sqrt{A^{\dagger}A}$. Sebagai operator yang bertindak$\mathcal{H}$, $A$ memetakan satu negara keluar dari itu ke yang lain, yang mungkin tidak dinormalisasi karena Anda tidak memiliki jaminan $A$menjadi kesatuan. Jadi, Anda bisa memikirkan tindakan$A$ sebagai ukuran untuk "berapa banyak" yang tidak dinormalisasi $A|\psi\rangle$ adalah, mengingat itu $|\psi\rangle$ adalah, yaitu $\langle\psi | \psi \rangle=1$.