Operator laplacian 3D

Question

Saya tidak dapat menemukan yang setara dengan perbedaan terbatas stensil 5 titik untuk operator Laplacian.

Dalam 2 dimensi bagi saya jelas bahwa, menggunakan metode beda hingga: $$ \nabla_{2D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0} + u_{-1,0} + u_{0,1} + u_{0,-1} -4 u_{0,0} \right) $$ (h menjadi kisi ukuran / langkah)

Tapi saya tidak yakin apakah itu benar-benar simetris untuk kasing 3 dimensi. Bisakah saya menambahkan istilah yang mengacu pada dimensi ke-3?$$ \nabla_{3D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0,0} + u_{-1,0,0} + u_{0,1,0} + u_{0,-1,0} + u_{0,0,1} + u_{0,0,-1} -6 u_{0,0,0} \right) $$

Sumber di mana saya dapat menemukan istilah akurasi yang berbeda untuk 3D Laplacian juga akan membantu.

Answer 1

Ya, perbedaan terbatas itu benar. Anda dapat memperolehnya dengan menggunakan selisih hingga di setiap arah untuk operator Laplace di setiap koordinat.

\begin{align} \nabla^2 u =& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\ \approx& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) - 2u(x, y, z) + u(x -h, y, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y + h, z) - 2u(x, y, z) + u(x, y - h, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y, z + h) - 2u(x, y, z) + u(x, y, z - h)]\\ =& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) + u(x -h, y, z) + u(x, y + h, z) + u(x, y - h, z)\\ &+ u(x, y, z + h) + u(x, y, z - h) - 6u(x, y, z)]\, . \end{align}

Atau, Anda dapat menginterpolasi polinomial yang melewati titik-titik di stensil Anda dan kemudian menghitung Laplaciannya dan mengevaluasinya di $(x, y, z)$.