알다: $(\Delta x)(\Delta \lambda) \geq \frac{\lambda^2}{4\pi}$

Question

현재 나는 공식을 통해

$$(\Delta x)(\Delta p)\geq\frac{h}{4\pi}$$

물론 이것은 하이젠 베르크의 불확실성 원리의 동봉 된 형태입니다 . 그러나 나는 또한이 공식을 얻습니다

$$(\Delta x)(\Delta \lambda)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}.$$

나는 이것이 하이젠 베르크의 원리의 연장이라고 생각하지만 나는 책에서 그런 내용을 얻지 못했다. 또한 나는 그것이 아마도 de Broglie의 가설 에서 비롯된 것이고 약간의 미적분 일 수도 있다고 생각하지만 그것은 단지 추측 일뿐입니다. 따라서 이러한 이유로 저는 여러분의 답변을 원하며 또한 하이젠 베르크의 원리 와 같이이 공식을 물리적으로 해석 하는 것이 더 좋을 것입니다 .

Answer 1

두 명의 임의 연산자에 대한 일반적인 불확도 원칙 에서 시작$\Omega$ 과 $\Phi$ $$(\Delta\Omega)^2(\Delta\Phi)^2\geq\frac{1}{4}\left|\langle \psi | [\Omega,\Phi] | \psi\rangle\right|^2$$ 어디 $|\psi\rangle$ 임의의 상태이고 $[\Omega,\Phi]=\Omega\Phi-\Phi\Omega$, 정류자. 우리는 De Broglie로부터$\lambda=\frac{h}{p}$; 이로부터 Possion 대괄호를 계산합니다.$x$ 과 $\lambda$ 같이 $$\begin{align}\{\lambda,x\}&=\frac{\partial \lambda}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}-\frac{\partial x}{\partial x}\frac{\partial\lambda}{\partial p}\\ &=\frac{h}{p^2}\\ &=\frac{\lambda^2}{h}\end{align}$$ 이제 Dirac의 양자화에 대한 대중적인 규칙 (많은 경우에 작동)은 다음과 같이 말합니다. $$\{\omega,\phi\}=\frac{2\pi}{i h}[\Omega,\Phi]$$ 그래서 우리는 $$[\Lambda, X]=i\frac{\Lambda^2}{2\pi}$$. 이것을 원래의 일반 불확도 원리에 연결하면,$$(\Delta\Lambda)^2(\Delta X)^2\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle^2}{16\pi^2}$$ 따라서 $$(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}$$ 이제 표준 편차의 정의에서 우리는 $(\Delta X )^2+\langle X\rangle^2=\langle X^2\rangle$, 그래서 우리는 $$\begin{align} (\Delta\Lambda)(\Delta X)&\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}\\ &\geq\frac{1}{4\pi}((\Delta\Lambda)^2+\langle\Lambda\rangle^2) \\ &\geq\frac{\langle\Lambda\rangle^2}{4\pi} \end{align} $$표준 편차가 양의 값이기 때문입니다. 따라서 기대 값을 나타냅니다.$\Lambda$ 같이 $\lambda$, 우리는 마침내 $$\bbox[5px,border:2px solid black]{(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}}$$이 불확실성 원리는 일반적인 위치-운동량 원리와 다릅니다. 불확실성의 곱이 항상 상수보다 큰 대신, 위치와 파장의 표준 편차의 곱은 파장의 평균값을 다음으로 나눈 값보다 크거나 같습니다.$4\pi$. 따라서 위치 및 파장의 불확실성을 파장의 평균값과 관련시킵니다.