브라켓 표기법 이해

Sep 15 2020

그래서 저는 QM의 초보자이고 수학에서 왔기 때문에 브래지어 표기법의 핵심 사항을 이해하지 못하고 있다고 생각합니다.

그래서 주어진 양자 상태 $\psi$, 나는 이해 $|\psi \rangle$함수에 대한 힐베르트 공간 표기법입니다. 이제 우리는$$\langle \psi_n | \psi_m \rangle = \int \psi_n^* \psi _m dr$$ 나를 믿게 이끄는 $\langle \cdot | \cdot \rangle$표기법은 그것이 공간에 정의 된 내적이라는 것을 암시하는 것 같습니다. 그러나 나는 그것을 본다$$\psi (r) = \langle r | \psi \rangle$$ 과 $$\psi^* (r) = \langle \psi | r \rangle$$ 일부 위치 벡터의 경우 $r$, 치수 포함 $3$. 글쎄, 그렇다면 물론 그것은 기능에 대해 정의 된 정상적인 내부 제품이 아닙니다. 아직 확실하지 않은 다른 것입니다. 마치$\langle \psi |$ 함수 / 벡터 / 상태의 켤레 전치 인 것 같습니다. $\psi$. 그러면 다음과 같은 정체성이 보입니다.$$\int dr | r \rangle \langle r | = I$$ 어디 $I$ID 연산자입니다. 나는 이것을 이해하지 못한다. 위의 진술에서이 진술을 어떻게 얻습니까? 상상$r$ 벡터가 될 $\mathbb{R}^3$, 나는 그것을 볼 수 있습니다 $rr^T$매트릭스로 연결되지만 단위 매트릭스로 연결되는 것은 보이지 않습니다. 내가 여기서 무엇을 놓치고 있습니까? 이 최종 정체성은 어떤 제품입니까?

나는 또한 책의 뒷부분에서 다음과 같은 정체성을 볼 수 있습니다. $$|\psi \rangle = \int dr |r\rangle \langle r| \psi \rangle \\ |\psi \rangle = \int dr |p\rangle \langle p| \psi \rangle \\ |\psi \rangle = \int dr | \psi_E \rangle \langle \psi_E| \psi \rangle $$ 연산자의 기대 값이 뒤 따릅니다. $$\langle \hat{A} \rangle = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle$$

기대 값은 $\langle Y \rangle = \int p(x) Y dx$, 어디 $p(x)$확률 분포 함수입니다. 내가 볼$\langle \psi | \psi \rangle$ 나에게 확률 분포를 제공하지만 그것은 연산자를 의미합니까? $\hat{A}$그냥 춥다고? 정말 아무것도 안 하시나요?

나는 이것이 기초로부터 벡터를 형성하는 것처럼 보인다는 것을 이해하지만, 이러한 연산자가 어떻게 작동하는지 이해하지 못하는 것 같으며, 다음과 같은 표준 벡터 공간에 어떻게 비유를 그릴 수 있는지 이해하지 못하는 것 같습니다. $\mathbb{C} ^n$ 또는 뭔가.

당신이 가진 모든 조언을 주시면 감사하겠습니다.

답변

2 A.Bordg Sep 16 2020 at 06:09

복잡한 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$ 단지 벡터 공간입니다. $\mathbb{C}$(완전한) 내부 제품을 갖추고 있습니다. 직관을 돕기 위해 모든 유한 차원 복소 힐베르트 공간은 다음과 같은 동형 이라는 것을 상기하는 것이 유용 할 수 있습니다.$\mathbb{C}^n$ 일부 $n$.

자, 가정 $\mathcal{H}$ 차원에 유한하다 $n$. 기초를 선택하고 요소에 레이블을 지정하십시오.$1$, $\cdots$, $n$. 그런 다음 Dirac의 표기법에서$|n\rangle$ 기초의 요소입니다 (더 일반적으로 $\mathcal{H}$) 동안 $n$단순한 레이블입니다. 일반 요소$|\psi\rangle$ 의 $\mathcal{H}$ 쓸 수있다 $$\sum_{i=1}^n \alpha_i |i\rangle\,.$$

Dirac의 표기법에서 내적은 다음과 같이 표시됩니다. $\langle \cdot | \cdot \rangle$, 그 후 $\langle i | \psi\rangle$ 단지 내적을 나타냅니다 $|i\rangle$ 와 $|\psi\rangle$즉 $\alpha_i$. 보다 일반적으로$|\psi\rangle$ 과 $|\phi\rangle$ 두 요소를 나타냅니다 $\mathcal{H}$ 와 $|\phi\rangle = \sum_i \beta_i |i\rangle$, 다음 $\langle \psi|\phi\rangle$ 내적, 즉 $\sum_i \alpha_i^*\beta_i$.

또한 벡터 공간으로 $\mathcal{H}$ 또한 이중 공간이 있습니다 $\mathcal{H}^{\dagger}$. 참고$\mathcal{H}^{\dagger}$ 선형지도의 공간입니다. $\mathcal{H}$ ...에 $\mathbb{C}$. 사이에 일대일 대응이 있습니다.$\mathcal{H}$ 과 $\mathcal{H}^{\dagger}$내부 제품의 도움으로 정의 할 수 있습니다. Dirac의 표기법에서$|\psi\rangle$ 이 서신 아래에 표시됩니다 $\langle \psi|$, 그래서 $\langle \psi|$ 적용 $|\phi\rangle$ 내부 제품입니다 $\langle \psi|\phi\rangle$.

마지막으로 연산자 $\hat{A}$ 선형지도 일뿐 $\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$ 주에 $|\psi\rangle$. 주어진 상태$|\psi\rangle$, $\hat{A}|\psi\rangle$, 또 다른 상태 , 즉 다른 요소를$\mathcal{H}$. 그때,$\langle \psi|\hat{A}|\psi\rangle$ 단순히 내적 $|\psi\rangle$ 와 $\hat{A}|\psi\rangle$. 이것이 기대 값입니다.$\hat{A}$ 주에서 $|\psi\rangle$ 정의됩니다.

베이시스가 유한하거나 적어도 셀 수 있는 불연속적인 경우 를 이해하면 베이시스가 더 이상 셀 수없는 경우를 이해하려고 시도 할 수 있습니다. 이 경우 레이블$\psi$되고 연속 및$\sum$ 적분으로 대체됩니다. $\int$, 그러나 개념적으로 상황은 변경되지 않았으며 여전히 내적을 갖춘 복잡한 벡터 공간을 다루고 있습니다.

사실, 요소가 $|r\rangle$의, 어디서 $r$ 이제 연속 레이블이며 공간의 기본 요소를 표시 한 다음 일반 요소를 나타냅니다. $|\psi\rangle$ 형태이다 $\int dr\, \psi(r)|r\rangle$ 어디 $\psi(r)$ 단순히 내적을 나타냅니다. $\langle r|\psi\rangle$.

결과로서, $I$ 적용 $|\psi\rangle$ 이다 $|\psi\rangle$이지만 다음과 같이 쓸 수도 있습니다. $\int dr\, |r\rangle \langle r|\psi\rangle$, 따라서 귀하의 책에서 발견되고 귀하의 질문에 언급 된 세 가지 평등의 첫 번째 평등. 두 번째 및 세 번째 평등은 다른 기본을 사용하여 동일한 아이디어를 표현합니다 (예 : 첫 번째 평등의 위치 기반 대신 두 번째 평등의 모멘텀 기반).

2 Shamaz Sep 16 2020 at 06:23

$\langle \cdot | \cdot \rangle$ 내부 제품입니다.

먼저 이름을 바꾸자 $r$ 같이 $r_0$고정 상수 (즉, 1 미터 또는 원하는대로)로 생각할 수 있습니다. 당신이 쓸 때$\langle r_0 | \psi \rangle$, 당신은 당신의 상태 사이에 내부 제품을 복용하고 있습니다 $| \psi \rangle$ 과 $\langle r_0 |$. 그러나$| r_0 \rangle$ 기초의 요소입니다 $\{| r \rangle :$ $r \in \mathbb{R}, r>0\}$, 그리고 우리는 또한 우리가 당신의 상태 (벡터)를 기본 요소에 투영하고 있다고 말할 수 있습니다. $| r_0 \rangle$. 유클리드 공간에서 이것은 벡터를 x, y 또는 z 축 (또는 실제로 다른 방향)에 투영하는 것과 같습니다. 힐베르트 공간의 완전한 기초는 긍정에 대한 모든 위치 상태의 집합입니다 (나는$r$방사형 방향을 나타냄) 실수 선이므로 기저는 실수의 전체 집합만큼 큽니다. 모든 구별$r_j$, 당신은 생각할 수 있습니다 $|r_j \rangle$유클리드 공간에서 축으로. 그러나 유클리드 공간에는 3 차원 만 있으므로 힐베르트 공간에는 무한한 양의 축이있는 3 개의 축이 있습니다.

유클리드 공간에서는 벡터를 기저 성분으로 분해 할 수 있습니다. 이전에는 (정규) 기준이 주어짐$x_0,x_1,x_2$, 우리는 벡터를 쓸 수 있습니다 $x$ 같이 $x= x \cdot x_0 \cdot e_0 + x \cdot x_1 \cdot e_1+ x \cdot x_2 \cdot e_2 = \sum_{i=0}^2 x_i\cdot x \cdot e_i$ 어디 $e_i$ 방향 벡터에 있습니다. $x_i$. 이것은 벡터가 모든 기본 방향에서 모든 구성 요소 (투영)의 합이라고 말하는 것과 같습니다. 이후$\langle r_j| r_i \rangle =0 $ 만약 $r_i\neq r_j$, 및 $\langle r_j| r_j \rangle =1 $, $|r\rangle$ 정규 직교 기반입니다.

힐베르트 공간의 경우 $|\psi \rangle = \sum_{r\in\mathbb{R^+}} \langle r \cdot| \psi \rangle |r\rangle = \sum_{r\in\mathbb{R^+}} |r\rangle\langle r| \psi \rangle $ 우리가 직접 통신하는 곳 $e_i ->|r\rangle , x_i -> \langle r|$ 과 $x -> |\psi \rangle$.

전체 양의 실수 선을 합산하기 때문에 그 합을 적분으로 변환 할 수 있습니다. $|\psi \rangle = \int |r\rangle\langle r| \psi \rangle dr$

그러나 $|\psi \rangle$ r에 의존하지 않으므로 적분에서 빼낼 수 있습니다. $\int |r\rangle\langle r|dr$ 위의 방정식이 모두에게 사실이므로 정체성이어야합니다. $|\psi\rangle$.

이제 연산자의 기대 값을 다룰 수 있습니다. $\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle = \langle \psi | \hat{A} \int |x\rangle\langle x|dx| \psi \rangle = \int \langle \psi | \hat{A} |x\rangle\langle x|\psi\rangle dx = \int \langle \psi | \hat{A} |x\rangle\Psi(x) dx$

자, 당신이 똑똑하다면, 당신은 $\hat{A}$ 그 기저에서 대각선입니다. $\hat{A}|x\rangle=|x\rangle A(x)$, 어디 $A(x)$ 고유 벡터의 고유 값입니다. $|x\rangle$ 의 $\hat{A}$. (위치 연산자의 경우$\hat{x}$ $\hat{x}|x\rangle=|x\rangle x$. 이것은 실제로 어떻게 기초$|x\rangle$ 위치 연산자를 대각선으로 만드는 기초로 정의됩니다.)

따라서 우리는 $\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle = \int \langle \psi | x\rangle A(x) \Psi(x) dx=\int \Psi(x)^* A(x) \Psi(x) dx$

유클리드 공간에서와 마찬가지로 직교 정규 기저가 두 개 이상 있으므로 상태를 투영 할 수 있습니다. $|\psi\rangle$위치 기준이 아닌 다른 기준으로. 예를 들어 파동 함수를 표현할 수 있습니다.$\Psi$ 단순히 상태를 투영하는 것과 일치하는 위치 또는 운동량 공간으로 $|\psi \rangle$각각 포지션 또는 모멘텀 기준으로. 당신은 당신에게 가장 유용한 기초로 당신의 상태를 투영합니다. 예를 들어, 입자의 평균 운동량을 알고 싶다면 운동량 기준으로 투영합니다. 운동량 연산자는 대각선이므로 입자 운동량의 예상 값은 계산하기 쉽습니다.$\langle\hat{p}\rangle = \int p|\Psi(p)|^2 dp$

또 다른 예로, 모든 스핀 상태를 상태의 z, x 또는 y 구성 요소로 표현할 수 있습니다. 이는 모두 동등하게 유효한 기준입니다.