복소수 계산

Question

그래서 오늘 수학 책에서이 질문을 만났는데, 정말 쉬운 것 같지만 정답을 얻는 방법을 모르겠어요. 잠을 잘 수 있도록 어떻게해야하는지 알고 싶어요.

이것이 질문입니다.

복소수가 $z=r(\cos\theta + i \sin\theta)$ 그것을 보여 $z-\frac{1}{z}=i(2r\sin\theta)$

실제 복소수를 사용하는 것 외에는이 질문에 대해 많이하지 않았습니다. $$\frac{z^2-1}{z}$$

누구 든지이 질문을 증명하는 방법을 보여줄 수 있습니까? 어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다.

Answer 1

정체성은 사실이 아닙니다. 실제로 우리는

$$z-\frac1z=z-\frac{\bar z}{|z|^2}=r(\cos\theta + i \sin\theta)-\frac1r(\cos\theta - i \sin\theta)=\left(r-\frac1r\right)\cos \theta+\left(r+\frac1r\right)i\sin \theta$$

정체성은 $\left(r-\frac1r\right)=0$ 과 $\left(r+\frac1r\right)=2r$ 그건 $r=1$ 또는 $z=e^{i\theta}$.

Answer 2

다음과 같음 $\:2ir\sin\theta\:$ 이다 $\:z -\color{red}{\bar z}$.

지금 $\bar z=\dfrac 1 z\:$ 경우에만 $z$ 계수 있음 $1$.