변곡점 찾기
내가 배운 것에서 곡선의 변곡점은 정의에 따라 곡선이 오목한 부분을 변경하는 점입니다.
간단한 사례
따라서 한 지점에 대해 $c$, 주어진 함수에서 $f(x)$, $f'(c) = f''(c) = 0$ 과 $f'''(c) \neq 0$, 다음 $c$변곡점입니다. 정의에 따라 2 차 도함수는 오목 함을 설명하므로 세 번째 미분은 반드시 오목 함의 변화율을 설명하므로 이에 대한 설명을 이해한다고 생각합니다. 그런 다음$f'(c) = f''(c) = 0$ 과 $f'''(c) \neq 0$, 2 차 도함수의 변화율이 0이 아니므로 오목 함이 변화하고 $c$변곡점입니다. 이에 대한 설명이 잘못된 경우 저를 수정하십시오!
일반적인 사례
그러나 조금 더 연구를 해보니이 현상이 실제로 다음과 같이 일반화 될 수 있다는 것을 알게되었습니다. $f(x)$ 이다 $k$ 특정 지점 근처에서 지속적으로 미분 할 수있는 시간 $x$ 와 $k$ 이상하고 $k ≥ 3$, 동안 $f^{(n)}(x_0) = 0$ ...에 대한 $n = 2, …, k − 1$ 과 $f^{(k)}(x_0) ≠ 0$, 다음 $f(x)$ 변곡점이있다 $x_0$.
질문
나는 이것을 설명하는 방법을 이해하지 못합니다. 왜냐하면 3 차 도함수 만 (다른 고차 도함수는 아님) 오목의 변화율을 설명한다고 생각했기 때문에 다음 네 가지 질문이 있습니다.
3 차 도함수의 특성에 대한 관찰을 홀수 도함수 (두 번째 미만)로 어떻게 일반화합니까?
왜이 일반화가 홀수 도함수 (초 미만)에만 적용됩니까? 즉, 짝수 미분 (두 번째 이하)에는 왜 적용되지 않습니까?
2 차 도함수가 정의되지 않은 변곡점이있을 수 있다는 것도 알고 있습니다. 그러면 거기에 변곡점이 있는지 어떻게 확인합니까? 2 차 도함수가 정의되지 않았다는 사실이 충분한 조건입니까?
내 세 번째 질문에 대한 확장으로 2 차 미분이 정의되고 특정 지점에서 0과 같지만 3 차 미분은 정의되지 않은 경우 어떻게됩니까? 그러면 거기에 변곡점이 있는지 어떻게 확인합니까?
배경
아마도 나는 현재 대학 수준에서 미적분학 입문 모듈을 수강하고 있으므로 현재 미적분에 대한 지식 수준은 내가 기대하는 정교한 설명을 이해하기에 충분하지 않을 수 있습니다. 나는 IVT, EVT, Rolle의 정리, MVT, Cauchy의 MVT 및 L' Hopital의 규칙을 배웠지 만 정리에 관한 한 그것에 관한 것이므로 직관적 / "하위 수준"설명이 있으면 대단히 감사하겠습니다. 이에 :)
답변
그것은 많은 질문입니다. 2 번에 답하려면 예를보세요.$$ f(x) = x^4 $$ 과 $$ f(x) = x^5. $$
첫 번째는 $x = 0$그러나 네 번째는 0이 아닙니다. 그럼에도 불구하고 굴곡이 없습니다. 오목한 부분에서 왼쪽으로$x = 0$, 오목하게 ($ x = 0의 오른쪽). 따라서 굴절이 없습니다.
제가 "조금 더 연구」의 일례이다 - 홀수 순서의 최초의 제로 유도체 BE를 구비하여, 실제로 수행 변곡점을 구성한다.
# 3, # 4 : 모든 문제가 쉬운 것은 아닙니다. 정의되지 않은 2 차 도함수가있을 때 ... 종종 변곡점의 왼쪽과 오른쪽에있는 오목 함을 명시 적으로 계산하여 이것이 실제로 변곡인지 확인해야합니다. "일반적인 지름길"은 없습니다. 멋진 점은 너무 많은 경우에 단순한 미분 성이 실제로 효과 가 있다는 것입니다. 이것은 우리가 미적분학을 배우는 데 투입 한 모든 작업을 정당화합니다. 종종 효과가 있습니다. 그렇지 않은 경우에는 거의 화를 내지 않습니다!
# 1의 경우 : 이러한 속성을 가진 함수가 오른쪽에서 볼록하고 왼쪽에서 볼록하다는 증거 (적어도 0이 아닌 첫 번째 도함수가 홀수이고 양수인 경우), 적어도 점 근처에서 기본적으로 평균값 정리를 반복적으로 적용하는 것입니다. 증명을 쓰기 시작했지만 .. 다른 일을해야해서 시작을 포기하고 있습니다. 요지 라는 제 제로 유도체 경우 $의 F는 ^ {(k는 + 1)} (0) = M $는 다음 단 제로의 오른쪽에 충분히 작은 영역에서, $ F는 (X)가 $는 룩스 많은 추천 을 $ q (x) = M x ^ {k + 1} $ (예 : "모든 도함수가 해당 구간의 모든 곳에서 동일한 부호를 갖도록 유사 함"), 이는 $ f '$ 가 한쪽에서 증가하고 있음을 보여주기에 충분합니다. , 다른 쪽에서 감소하면 완료됩니다. 머리 꼭대기 증명의 시작을 뒤로하고 있지만 트레일의 시작일뿐입니다 ...
한 가지 증거는 다음과 같습니다.
먼저, 우리가보고있는 경우 $ X = 달러 (A $) , 다음 대체 $ f를 $를 함께 F (가) $$ - (- X) = $$ g (x)는 F를 한 후 우리는 같은 가설에있어 $ g $ , 그러나 원점에서 $ g (0) = 0 $ . 이제 우리는 이것을 증명하고 있습니다.
만약 $ g (0) = g '(0) = \ ldots 단락 = g ^ {(K)} (0) = 0 $ 이지만 $ g ^ {(K + 1)} (0)> 0 $ 및 $ k $ 가 짝수이면 $ g $ 는 $ 0 $ 에서 변곡점을가 집니다.
이를 보여주기 위해 $ b> 0 $ 에 대해 $$ g ' 가 있음을 보여줍니다 . [-b, b] \ to \ Bbb R $$ 는 (i) $ [0, b] 에서 증가합니다 . $ 그러나 (ii) $ [-b, 0] $ 에서 감소합니다 .
사실은 (i) 항목 만 표시하고 $ (ii) $는 맡기겠습니다 .
보조제가 필요합니다.
정리 : If
- $ h (0) = 0 $ , 그리고
- $ h $ 는 $ 0 $ 에서 차별화 가능 하며
- 양수 $ x_1, x_2, \ ldots, x_n $ 의 시퀀스는 $ 0 $로 수렴 하고
- $ H (x_i로부터) \ 제작 : 0 $ 모든 $ I $ , 다음
$$ h '(0) \ le 0 $$ . 증명은 매우 쉽습니다.\begin{align} h'(0) &= \lim_{s \to 0}\frac{h(0+s) - h(0)}{s} \\ &= \lim_{s \to 0}\frac{h(0+s) - 0}{s} & \text{hypothesis 1}\\ &= \lim_{s \to 0}\frac{h(s)}{s}. \end{align}이제 $ h '(0) = M> 0 $ 이라고 가정합니다 . 그리고 모든을 위해 $ \ 엡실론> 0 $ 하는 거기 $ \ 델타> 0 $ 이되도록 | - 0 X | $ <\ delta $ 는 $ | \ frac {h (x)} {x}-M | <\ epsilon $ . 음, 모든 엡실론에 대해 사실이므로 $ \ epsilon = \ frac {M} {2} $에 대해서도 사실이어야합니다 . 따라서 $ \ delta $ 를 $ M / 2 $ 미만으로 만드는 숫자로 선택합시다 . 그런 다음에 대한 모든 $ X $ 와 $$ | X - 0 | <\ delta $$ 우리는 $$ | \ frac {h (x)} {x}-M | <M / 2 $$ 것을 말해 준다 $ 근처 : 0. 즉 $ \ FRAC {H (X)} {X} \ GE M / 2> 0 $, 비 $의 H (X)는 X / $가 있어요 0에서 최소 $ M / 2 $.
이제 숫자를 선택하세요 $n$ 너무 커서 $$ |x_n - 0| < \delta, $$ 당신이 할 수있는 $x_i$수렴 $0$. 결론을 내릴 수 있습니다.$$ \frac{h(x_n) / x_n} \ge M/2 $$ 하지만 우리는 알아 $x_n > 0$ (가설 3에 의해) 그리고 $h(x_n) \le 0$(가설 4), 이것은 불가능합니다. QED
해당 정리 $h(x_i) \ge 0$ 또한 본질적으로 동일한 증명으로 작동합니다. $x_i$ 수렴하다 $0$에서 아래 보다는 위. 이러한 경우 각각의 정리를 작성하여 올바르게 설정해야합니다.
사례를 살펴 보겠습니다. $k = 4$단순하게 유지합니다. 일단 당신이 그것을 보면, 당신은 세부 사항을 해결할 수 있다고 생각합니다$k = 6, 8, $ 그런 다음 (유도에 의해?) 일반적인 경우를 수행합니다.
그래서 우리는 $f(0) = f'(0) = \ldots = f^{(4)} = 0$, 및 $f^{(5)}(0) > 0$, 그리고 우리는 약간의 거리에 대해 $b$ 오른쪽에 $x = 0$, 함수 $f'$증가하고있다. 일부 숫자에 대해 (**)를 표시하여 보여 드리겠습니다.$b$, 우리는 $f''(x) > 0$ ...에 대한 $0 < x \le b$. 그런 다음 평균값 정리를 적용하여$f$ 증가하고있다.
(**)가 거짓이라고 가정합니다. 그런 다음 (픽킹$b = 1/n$), 모든 양의 정수 $n$, 우리는 간격에 있습니다 $(0, 1/n]$, 내가 부를 요점이 있습니다. $x_n$, 어디 $f''(x) \le 0$. 이 포인트$x_n$모두 긍정적이고 분명히 0으로 수렴합니다. 우리의 보조 정리를 통해