cos (x)의 Bhaskara 근사

Question

내가 아는 한 최고의 근사치 $\sin$ 과 $\cos$ Bhaskara 근사값은 다음과 같습니다. $$\sin(x) \simeq \frac{16 (\pi -x) x}{5 \pi ^2-4 (\pi -x) x}\qquad (0\leq x\leq\pi)$$ 과 $$\cos(x) \simeq\frac{\pi ^2-4x^2}{\pi ^2+x^2}\qquad (-\frac \pi 2 \leq x\leq\frac \pi 2)$$

가장 좋은 근사값은 무엇입니까 $\cos(x)$ ...에 대한 $ -\pi\leq x\leq 0$ (일반 기능에 의해)?

Answer 1

근사화 측면에서 표현식에 포함하려는 용어의 수에 따라 많은 작업을 수행 할 수 있습니다. 대부분의 경우 이것은 Padé 근사치를 사용하여 수행됩니다.

예를 들어, 귀하의 질문에 대해 간단한 $[3,2]$ 주변에 지어진 파데 근사치 $x=-\frac \pi 2$, 우리는 $$\cos(x)=\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1-\frac{7}{60} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2 } {1+\frac{1}{20}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2 }$$ 절대적인 오류로 이어지는 $0.0042$ 경계에서.

확실히 더 나아가서 $[5,4]$ 파데 근사 $$\cos(x)=\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1-\frac{53}{396} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{551 }{166320}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 } {1+\frac{13}{396} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{5 }{11088}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 }$$ 절대적인 오류로 이어지는 $3.0\times 10^{-6}$경계에서. 이것은 Taylor 시리즈와 동일합니다.$O\left(\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^{11}\right)$.

가능한 개선 사항에 대한 아이디어를 제공합니다. 그것을 고려하십시오$P_n$ 이다 $[2n+1,2n]$ 파데 근사 $\cos(x)$ 주위에 구축 $x=-\frac{\pi }{2}$ 표준을 계산 $$\Phi_n=\int_{-\pi}^0 \big[\cos(x)-P_n\big]^2\,dx$$

$$\left( \begin{array}{cc} n & \Phi_n \\ 1 & 3.92 \times 10^{-6} \\ 2 & 1.26 \times 10^{-12}\\ 3 & 2.23 \times 10^{-20} \end{array} \right)$$

이 모든 것은 다음의 정보 (함수 및 미분 값)를 기반으로 만 수행되었습니다. $x=-\frac{\pi}{2}$.

그러나 우리는 전체 범위를 커버하려고 노력할 수 있습니다. $$\cos(x) \sim \left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1+a \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+b\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 } {1+c \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+d\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 }$$ 획득

$$a=\frac{-1952+672 \pi -192 \pi ^2+56 \pi ^3}{\pi ^3(\pi ^2-10)}$$ $$b=\frac{-3456+1056 \pi +768 \pi ^2-240 \pi ^3 } {\pi ^5 \left(\pi ^2-10\right) }$$ $$c=\frac{-192+72 \pi -104 \pi ^2+32 \pi ^3 } {\pi ^2 \left(\pi ^2-10\right) } $$ $$d=\frac{-4704+1504 \pi +400 \pi ^2-128 \pi ^3} {\pi ^4 \left(\pi ^2-10\right) }$$ 최대 절대 오차는 다음과 같습니다. $5.96\times 10^{-8}$ 그리고 다음과 같은 규범 $2.73\times 10^{-15}$ (이것은 $461$ 보다 작은 배 $\Phi_2$).

계수가의 계수에 매우 가깝다는 것을 알 수 있습니다. $P_2$ 그러나 이러한 사소한 변경은 많은 차이를 만듭니다.

이 모든 근사치는 귀하의 질문에 답하기 위해 만들어졌습니다.

Answer 2

함수에 대해 "최상의"근사치 같은 것은 없으며 더 나은 근사치를 생성하기 위해 만들 수있는 사소한 조정이 항상 있습니다.

그러나 귀하의 질문에 대해 알면서 귀하가 준 근사치를 마사지 할 수 있습니다. $$-\pi\leq x\leq 0 \iff -\frac \pi2\leq x+\frac \pi2\leq \frac \pi2$$

Answer 3

근사치 $\sin(x)$ 의 위에 $[-\pi/2, \pi/2]$ Bhaskara의 정신에 가장 잘 맞는 것은

$$\frac{22 \pi^2 x - 24 x^3}{\pi (7 \pi^2 + 4 x^2)}.$$

정확하다 $\lvert x \rvert \in\{0, \pi/6, \pi/2\}$미분은 끝점에서 0입니다. 왼쪽으로 이동$\pi/2$ 근사치를 얻으려면 $\cos(x)$ 의 위에 $[-\pi, 0]$.

이것은 동일한 정도의 Padé보다 최대 절대 오차 측면에서 더 나은 근사치입니다. (Remez의 알고리즘은 더 나은 알고리즘을 찾을 수 있습니다. 이 설명 의 섹션 6을 참조하십시오 .) 간격으로 확장$[-1,1]$ 더 멋진 근사치를 제공합니다. $$\frac{11 x - 3 x^3}{7 + x^2} \approx \sin \left(\tfrac{\pi}2 x\right).$$