다음 제한 값을 계산하십시오.
그래서 한계를 정했습니다. $$\lim_{x\to0} \frac{2\sin\left ( e^{-\frac{x^2}{2}} -\cos x \right)}{(\arctan(\sinh(x^2))^2}$$
나는 그것으로 몇 시간 동안 고군분투했습니다. 내가 넣을 때 정의되지 않은 형태를 얻었으므로$x=0$ 나는 L' Hopital 방법으로 시도해 보았고 여기까지 왔습니다.
$$\lim_{x\to 0} \frac{2\cos(e^{-\frac{x^2}{2}}-\cos x)(e^{-\frac{x^2}{2}}(-x)+\sin x)}{\frac{4x \arctan(\sinh(x^2))\cosh(x^2)}{\sinh(x^2)+1}}$$
x를 대체 할 때 여전히 여기에 있습니다. $0$ 나는 여전히 얻는다 $0$. x를 인수 분해 해 보았습니다. 또한 신원을 사용해 보았습니다.$cos(A-B)$ 등등, 그러나 아무것도.
나와야 할 답은 $\frac{1}{6}$
나는 당신의 도움에 매우 감사 할 것입니다, Annalisa
답변
다음과 같은 일반적인 제한을 고려하는 것이 더 쉬울 수 있습니다. $$ \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1\tag1 $$ $$ \lim_{x\to0}\frac{\sinh(x)}{x}=1\tag2 $$ $$ \lim_{x\to0}\frac{\arctan(x)}{x}=1\tag3 $$ 이 세 가지 제한을 사용하면 $$ \begin{align} &\lim_{x\to0}\frac{2\sin\left(e^{-x^2/2}-\cos(x)\right)}{\left(\arctan\left(\sinh\left(x^2\right)\right)\right)^2}\\ &=\scriptsize2\,\underbrace{\lim_{x\to0}\frac{\sin\left(\color{#C00}{e^{-x^2/2}-\cos(x)}\right)}{\color{#C00}{e^{-x^2/2}-\cos(x)}}\vphantom{\frac1{\left(x^2\right)}}}_{1}\underbrace{\left(\lim_{x\to0}\frac{\color{#090}{\sinh\left(x^2\right)}}{\arctan\left(\color{#090}{\sinh\left(x^2\right)}\right)}\lim_{x\to0}\frac{\color{#00F}{x^2}}{\sinh\left(\color{#00F}{x^2}\right)}\right)^2}_{(1\cdot1)^2}\lim_{x\to0}\frac{e^{-x^2/2}-\cos(x)}{x^4}\tag4\\ &=2\lim_{x\to0}\frac{e^{-x^2/2}-\cos(x)}{x^4}\tag5 \end{align} $$ L' Hôpital로 평가하기가 훨씬 쉽습니다. $$ \begin{align} 2\lim_{x\to0}\frac{e^{-x^2/2}-\cos(x)}{x^4} &=2\lim_{x\to0}\frac{-xe^{-x^2/2}+\sin(x)}{4x^3}\tag6\\ &=2\lim_{x\to0}\frac{\left(x^2-1\right)e^{-x^2/2}+\cos(x)}{12x^2}\tag7\\ &=2\lim_{x\to0}\frac{\left(-x^3+3x\right)e^{-x^2/2}-\sin(x)}{24x}\tag8\\ &=2\lim_{x\to0}\frac{\left(x^4-6x^2+3\right)e^{-x^2/2}-\cos(x)}{24}\tag9\\[3pt] &=\frac16\tag{10} \end{align} $$
Taylor 확장을 알고 있다면 : $$ e^{\frac{-x^2}{2}} =_{x \rightarrow 0} 1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4) $$ $$ \cos(x) =_{x \rightarrow 0} 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4) $$ 그때 $$ e^{\frac{-x^2}{2}} - \cos(x) =_{x \rightarrow 0} \frac{x^4}{12} + o(x^4) $$ 이제 $sin(x) =_{x \rightarrow 0} x + o(x)$ 그때 $$ 2 \sin( e^{\frac{-x^2}{2}} - \cos(x)) =_{x \rightarrow 0} \frac{x^4}{6} + o(x^4) $$ 그리고 분모 : $$ \sinh(x^2) =_{x \rightarrow 0} x^2 + o(x^2) $$ $$ \arctan(x) =_{x \rightarrow 0} x + o(x) $$ 그래서: $$ (\arctan(\sinh(x^2))^2 =_{x \rightarrow 0} x^4 + o(x^4) $$
따라서: $$ \frac{2 \sin( e^{\frac{-x^2}{2}} - \cos(x))}{(\arctan(\sinh(x^2))^2} =_{x \rightarrow 0} \frac{1}{6} + o(1) $$
우리는
$$\frac{2\sin\left ( e^{\frac{-x^2}2}-\cos x \right )}{(\arctan(\sinh(x^2))^2} =$$
$$=\left(\frac{\sinh(x^2)}{\arctan(\sinh(x^2)}\right)^2\cdot\left(\frac{x^2}{\sinh(x^2)}\right)^2\cdot \frac{\sin\left ( e^{\frac{-x^2}2}-\cos x \right )}{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x }\cdot2\cdot\frac{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x }{x^4} $$
표준 한계에 의해
$$\left(\frac{\sinh(x^2)}{\arctan(\sinh(x^2)}\right)^2\to 1, \quad\left(\frac{\sinh(x^2)}{x^2}\right)^2\to 1, \quad \frac{\sin\left ( e^{\frac{-x^2}2}-\cos x \right )}{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x } \to 1$$
우리는
$$\lim_{x\to 0} \frac{2\sin\left ( e^{\frac{-x^2}2}-\cos x \right )}{(\arctan(\sinh(x^2))^2} =2\cdot \lim_{x\to 0}\frac{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x }{x^4} = 2 \cdot \frac1{12}= \frac16$$
Taylor의 확장 또는 l' Hospital에 의해 다음과 같이 표시 될 수 있습니다.
$$\lim_{x\to 0}\frac{e^{\frac{-x^2}2}-\cos x }{x^4}\stackrel{H.R.}=\lim_{x\to 0}\frac{-xe^{\frac{-x^2}2}+\sin x }{4x^3}\stackrel{H.R.}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2e^{\frac{-x^2}2}-e^{\frac{-x^2}2}+\cos x }{12x^2}=$$
$$=\lim_{x\to 0}\frac{e^{\frac{-x^2}2}}{12}+\lim_{x\to 0}\frac{1-e^{\frac{-x^2}2}+\cos x-1 }{12x^2}=\frac1{12}+0=\frac1{12}$$
실제로 표준 한계에 의해
$$\frac{1-e^{\frac{-x^2}2}+\cos x-1 }{12x^2}=\frac{1}{24}\frac{e^{\frac{-x^2}2}-1}{-\frac{x^2}2}-\frac{1}{12}\frac{1-\cos x }{x^2}=0$$