대칭 행렬 연산자

Question

허락하다 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 고유 값을 갖는 대칭 행렬 $\lambda_1\geq \lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n$ 그리고 다음과 같이 주어진 스펙트럼 분해 $$ A = PDP^{\top}, $$ 어디 $D = \text{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)$ 과 $P$ 직교합니다.

허락하다 $\mathcal{S}\subset\mathbb{R}$ 그런 세트가 되십시오 $\lambda_i\in\mathcal{S}$ 모든 $i$, 일부 기능 정의 $f:\mathcal{S}\to\mathbb{R}$.

우리는 행렬을 정의합니다 $f(A)$ 같이 $$ f(A) = Pf(D)P^{\top}, $$ 어디 $$ f(D) = \text{diag}(f(\lambda_1),...,f(\lambda_n)). $$

이다 $f(A)$ 잘 정의?

내 말은, 스펙트럼 분해 $A = PDP^{\top}$ 있을 수 있기 때문에 고유하지 않습니다 $i,j$ 성 $\lambda_i=\lambda_j$, 이는 $P$ 고유하지 않습니다.

모든 통찰력이 떨어질 것입니다!

Answer 1

잘 정의되어 있습니다. 그 이유는$f(D)$ 다항식으로 표현할 수 있습니다. $D$ (그 정도와 계수는 $f$ 과 $D$), $f(A)$ 다항식으로 표현 가능 $A$. 실제로$\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_m$그 고유 한 고유 값은$A$ 과 $g$ 라그랑주 보간 다항식입니다. $$ g(x)=\sum_{i=1}^m\prod_{j\ne i}\frac{x-\mu_j}{\mu_i-\mu_j}f(\mu_i), $$ 그때 $g(\mu_i)=f(\mu_i)$ 각각 $i$. (모퉁이의 경우$A=\mu I$, 우리는 정의 $g$ 상수 다항식으로 $f(\mu)$.) 그 후 $g(\lambda_i)=f(\lambda_i)$ 각각 $i$ (왜냐하면 각각 $\lambda_i$ 일부입니다 $\mu_k$), $f(D)=g(D)$ 과 $Pf(D)P^T=Pg(D)P^T=g(PDP^T)=g(A)$. 이후$g$순서가 지정되지 않은 다중 고유 값 집합 에만 의존합니다.$A$ 하지만 $P$ 또는 순서대로 $\lambda_i$s의 대각선 $D$, 제품 $Pf(D)P^T$ 항상 동일한 값으로 평가됩니다. $g(A)$, 수행 된 스펙트럼 분해에 관계없이.

Answer 2

때문에 $P^\perp P=I$, $$ A^2 = (PDP^\perp)^2=PDP^{\perp}PDP^{\perp}=PD^2P^\perp \\ A^n = PD^nP,\;\;\; n=1,2,3,\cdots. $$ 밝히다 $P^0=I$. 그런 다음$p$ 다항식이고 $$ p(A)=Pp(D)P^\perp. $$ 대각 행렬의 경우 $D$ 대각선으로 $d_1,d_2,\cdots,d_N$,이 정의 $p(D)$ 대각 행렬을 제공합니다. $p(d_1),p(d_2),\cdots,p(d_N)$. 이것은 행렬을 사용한 다항식의 표준 평가와 일치합니다.$A$. 그리고 당신은 그것을 볼 수 있습니다$(pq)(A)=p(A)q(A)$ 예를 들면.