다항식의 근 변환
x 에 근이 A, B, C 인 3 차 다항식이 있고 근이 1 / (A-1), 1 / (B-1), 1 / (C-1) 인 또 다른 3 차 다항식 (t) 이 있다고 가정합니다.
찾을 수 있습니다.
내 교과서에는이를 수행하는 두 가지 방법이 언급되어 있습니다. 하나는 시간이 많이 걸리는 비에 타의 관계를 사용하는 것입니다. 언급 된 또 다른 방법은 t = 1 / (x-1)로하고 x를 주어로 만든 다음 대체하고 단순화하는 것입니다. 그러나 나는 이것에 대해 정말로 내 마음을 감쌀 수 없다. 이것이 뿌리 사이의 관계라고해서 x와 t의 모든 값이 관계라는 것을 의미하지는 않습니까?
또한이 방법을 좀 더 일반적으로 시도하면 f (A), f (B), f (C) 근이있는 다항식을 찾으려고 시도하면 f (u)가 e ^ u와 같은 일부 역함수 인 경우 실패한 것처럼 보입니다. .
누군가가 그러한 질문을 다루는 적절한 방법에 대해 자세히 설명해 주시겠습니까?
답변
3 차 다항식이 있다고 가정합니다. $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 세 개의 실제 또는 복잡한 뿌리가있는 경우 $x_1, x_2, x_3$, 그러면 다음과 같이 말할 수 있습니다. $P(x_i) = ax_i^3 + bx_i^2 + cx_i + d = 0$ ...에 대한 $i = 1,2,3$.
이제 뿌리를 가진 새로운 다항식을 만들고 싶다고합시다. $y_1, y_2, y_3$ 어디 $y_i = \frac 1{x_i-1}$ (원본의 뿌리가 없다는 가정하에 $1$, 물론) 참조가 말했듯이 주제를 다음과 같이 변경할 수 있습니다. $x_i$, 즉 $x_i = 1 + \frac 1{y_i}$그것을 원래의 방정식으로 대체하십시오. 알 잖아$P(x_i) = 0$, 즉 $P(1+\frac 1{y_i}) = 0$또한. 조작을 통해이 새로운 방정식이 3 차 방정식임을 보여줄 수 있습니다.$Q(y_i) = 0$. 이미 파생 된 명시 적 매핑에 의해 세 가지 루트 각각$y_i$ 이 새로운 입방체의 세 뿌리 각각에 해당합니다 $x_i$ 원래 입방의.
확실히이 방법은 도메인 및 존재 고려 사항에 대해주의하는 한 모든 역변환에 대해 작동하지만 변환 후에 다항식을 얻지 못할 수도 있습니다 (지수 함수를 사용하는 경우).
허락하다 $A$, $B$ 과 $C$ 다항식의 뿌리 $x^3+ax^2+bx+c.$
그러므로, $$A+B+C=-a,$$ $$AB+AC+BC=b,$$ $$ABC=-c$$ 그리고 우리는 다음을 얻습니다 : $$\sum_{cyc}\frac{1}{A-1}=\frac{\sum\limits_{cyc}(A-1)(B-1)}{\prod\limits_{cyc}(A-1)}=\frac{b+2a+3}{-c-b-a-1},$$ 전에 계수를 제공합니다 $x^2$ 새로운 다항식 : $$\frac{2a+b+3}{a+b+c+1}.$$ 또한, $$\sum_{cyc}\frac{1}{(A-1)(B-1)}=\frac{\sum\limits_{cyc}(A-1)}{\prod\limits_{cyc}(A-1)}=\frac{-a-3}{-a-b-c-1}=\frac{a+3}{a+b+c+1}$$ 과 $$\prod_{cyc}\frac{1}{A-1}=\frac{1}{-a-b-c-1}$$ 그리고 우리는 답을 얻었습니다. $$x^3+\frac{2a+b+3}{a+b+c+1}x^2+\frac{a+3}{a+b+c+1}x+\frac{1}{a+b+c+1}.$$ 우리는 Viete의 정리를 사용했으며 이것은 문제를 해결하는 올바른 방법입니다.
또한 순환 합산을 사용하면 충분히 쉽게 확인할 수 있습니다.
두 번째 방법은 시간이 더 걸린다고 생각합니다.
허락하다 $x=\frac{1}{y-1}$, 어디 $y$ 다항식이면 근입니다. $x^3+ax^2+bx+c.$
따라서 $y=\frac{x+1}{x},$ 우리는 다음을 얻습니다. $$\left(\frac{x+1}{x}\right)^3+a\left(\frac{x+1}{x}\right)^2+b\left(\frac{x+1}{x}\right)+c,$$ 동일한 결과를 제공하지만 약간 더 많은 계산이 필요합니다.