다항식의 계수
계수가 $[x^nu^m] $ 이변 량 생성 함수에서 $\dfrac{1}{1-2x+x^2-ux^2}$ 이다 ${n+1\choose n-2m}.$
저는 다항 정리 (이항 정리의 확장)를 사용하여 이것을 시도했습니다. $x_1,\cdots, x_r, n\in \mathbb{N}_{\geq 0}, (x_1+\cdots + x_r)^n = \sum_{k_1+\cdots + k_r = n} \dfrac{n!}{k_1! \cdots k_r!}x_1^{k_1}\cdots x_r^{k_r}.$
이것은 주어진 이변 량 생성 함수가 다음과 같음을 제공합니다. $\sum_{n\geq 0}(2x-x^2+ux^2)^n = \sum_{n\geq 0} \sum_{k_1+k_2 + k_3 = n} \dfrac{n!}{k_1!k_2!k_3!} (2x)^{k_1}(-x^2)^{k_2}(ux^2)^{k_3}$.
따라서 계수 $[x^n u^m]$ 해야한다 $\sum_{k_1 + 2k_2 = n-2m} \dfrac{(n-k_2-m)!}{k_1!k_2!m!}2^{k_1} (-1)^{k_2} .$ 나는 이것을 대체함으로써 이것을 더 단순화 할 수 있습니다. $k_2$ 와 $\dfrac{n-2m-k_1}{2},$하지만 그로부터 원하는 결과를 얻는 방법을 모르겠습니다. 다항식의 다른 유용한 속성이 있습니까? 나는 또한 깨달았다$\sum_{m\geq 0} {n+1\choose n-2m} = 2^n,$ Pascal의 신원을 사용하여 표시 할 수 있지만 이것이 유용한 지 확실하지 않습니다.
답변
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ 계수가 $\ds{\bracks{x^{n}u^{m}}}$ 이변 량 생성 함수에서 $\ds{1 \over 1 - 2x + x^{2} - ux^{2}}$ 이다 $\ds{\bbox[5px,#ffd]{n + 1\choose n - 2m}: {\Large ?}}$.
\begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\bracks{x^{n}u^{m}}{1 \over 1 - 2x + x^{2} - ux^{2}}} = \bracks{x^{n}u^{m}}{1 \over \pars{1 - x}^{2} - ux^{2}} \\[5mm] = &\ \bracks{x^{n}u^{m}}{1 \over \pars{1 - x}^{2}} \bracks{1 - {x^{2} \over \pars{1 - x}^{2}}\,u}^{-1} = \bracks{x^{n}}{1 \over \pars{1 - x}^{2}} \bracks{x^{2} \over \pars{1 - x}^{2}}^{m} \\[5mm] = &\ \bracks{x^{n - 2m}}\pars{1 - x}^{-2m - 2} = {-2m - 2 \choose n - 2m}\pars{-1}^{n - 2m} \\[5mm] = &\ {-\bracks{-2m - 2} + \bracks{n - 2m} - 1 \choose n - 2m} = \bbx{\large{n + 1 \choose n - 2m}} \\ & \end{align}
먼저 2 차 표현식을 인수 분해하는 것이 더 도움이 될 수 있습니다 (변수로 $x$). 이렇게하면 계수를 추출 할 수 있습니다.$x^n$ ($u$ 상수로 취함) 및 계수 $u^m$ (다시 말해 $[x^n u^m]f(x,u)=[u^m]([x^n]f(x,u))$. 그래서 분모를 분해하여$$ \dfrac{1}{1-2x+x^2-ux^2}=\frac{1}{1-(1+\sqrt{u})x}\cdot \frac{1}{1-(1-\sqrt{u})x} $$ 기하학적 시리즈로 $$ (\sum_{i \geq 0}(1+\sqrt{u})^ix^i) \cdot (\sum_{j \geq 0}(1-\sqrt{u})^j x^j ). $$ 그래서 우리는 $x^n$ $$ \sum_{k=0}^{n}(1+\sqrt{u})^k(1-\sqrt{u})^{n-k}\tag{*} $$ 문제는 계수를 찾는 것으로 감소합니다. $u^m$ 에 $(*)$. 예를 들어 식을 다음과 같이 작성하여 평가할 수 있습니다.$$ (1-\sqrt{u})^n\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1+\sqrt{u}}{1-\sqrt{u}}\right)^k $$ 유한 기하학 시리즈를 $q=\frac{1+\sqrt{u}}{1-\sqrt{u}}$, 그래서 우리는 합에 대해 잘 알려진 공식을 사용할 수 있습니다. $\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$. 복잡한 대수학 후에 우리는$$ \frac{1}{2\sqrt{u}}[(1+\sqrt{u})^{n+1}-(1-\sqrt{u})^{n+1}], $$ 마지막으로 이항 정리에 의해 $$ \frac{1}{2\sqrt{u}}\sum_{m=0}^{n+1}\binom{n+1}{m}\sqrt{u}^{m}(1-(-1)^{m}). $$ 짝수 $m$ 용어가 사라지고 우리는 $$ \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor}\binom{n+1}{2m+1}u^{m}. $$ 이제 계수를 읽으십시오. $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.