델타 중립성 (파생)

Question

델타 중립 포트폴리오의 수학에 대해 혼란 스럽습니다.

가격이있는 유럽 콜 옵션 매도 포지션이 있다고 가정합니다. $p(t,S_t)$ 가격과 함께 주식으로 헤지하고 싶습니다. $S_t$. 포트폴리오 가치는$X(t,S_t)=-p(t,S_t)+\Delta\times S_t$. 포트폴리오 델타 중립을 만들려면 포트폴리오가 변경 사항에 민감하지 않아야합니다.$S_t$, 따라서 우리는 $\frac{\partial X}{\partial S}=-\frac{\partial p}{\partial S}+\Delta=0$( 가정$\Delta$ 의존하지 않는다 $S$). 그러나 어떻게 든 여기에서 모든 교과서는$\Delta=\frac{\partial p}{\partial S}$ 일반적으로 다음과 같은 가정을 위반합니다. $\Delta$ 의존하지 않는다 $S$.

이것을 더 명확하게보기 위해 포트폴리오는 $Y(t,S_t)=-p(t,S_t)+\underbrace{\frac{\partial p}{\partial S}}_{=\Delta}\times S_t$ 델타 중립이 아닙니다. $\frac{\partial Y}{\partial S}=-\frac{\partial p}{\partial S}+\frac{\partial^2 p}{\partial S^2}S+\frac{\partial p}{\partial S}\neq 0$(감마 중립이 아닌 경우). 실수는 무엇입니까? 파생에서 내가 놓친 것은 무엇입니까?

업데이트 : 포트폴리오에 이토의 보조 정리를 적용하면$Y$, 다음 $dY_t = -\left(\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 p}{\partial S^2}\sigma^2 S_t^2 \right)dt$ 독립적 인 $dS_t$. 하지만 이제 제 질문은 감마 헤징의 아이디어가 어디에서 왔습니까? 다시 말하지만, 감마가 필요하다는 사실을 확인하는 엄격한 방법입니다.

Answer 1

이 토론은 또한 저를 약간 혼란스럽게했기 때문에 명확하지 않을 수도 있지만 명확하게 할 수있는 내용을 추가 할 것입니다. 또한 프로그래밍을 중단하고 옵션 가격 이론을 다듬어야 함을 상기시켜줍니다.

Black Scholes 헤지 포트폴리오는 다음과 같이 제공됩니다. $$ \Pi_t = \frac{\partial V}{\partial S}(t,S_t)S_t + \left[1 - \frac{\partial V}{\partial S}(t,S_t)\right]B_t $$ 어디 $B_t$무위험 자산입니다. 에 대한 차별화$S$ 평소와 같이 포트폴리오 델타는 다음과 같습니다. $$ \frac{\partial^2 V}{\partial^2 S}(t,S_t) + \frac{\partial V}{\partial S_t}(t,S_t) - \frac{\partial^2 V}{\partial^2S} (t,S_t) = \frac{\partial V}{\partial S}(t,S_t) $$ 이것은 (반대 기호)가 하나의 단위와 결합되었음을 의미합니다. $V$ 현지에서 위험이없는 포트폴리오입니다.

다음과 같이 미분 할 수없는 기능의 파생물을 취하는 측면에서 여기에서 놓치고있는 일부 엄격함이 있습니다. $S_t$ -모든 포스터는 빈칸을 자유롭게 채울 수 있고 채워야합니다.