Dirichlet의 근사값에 대한 하한

Question

이 문제에서 나는 성공적으로 추론했습니다. $\forall x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$, 만약 $x$ 형식이다 $x=nr-[nr]$,와 함께 $n\in\mathbb{N}$ 과 $r\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$ 이 형식의 두 숫자를 선택하면 $x$, 그들의 차이는 $\varepsilon$ 그리고 이것으로부터 우리는 Dirichlet의 근사치를 도출 할 수 있습니다.

내가 직면하고있는 문제 : Dirichlet의 근사치에 대한 하한을 찾는 것이 다소 어렵습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.$\left|x-\frac{p}{q}\right|\geq \frac{1}{q^{2}(1+2\sqrt{2})}$ 와 $p\in\mathbb{Z}$ 과 $q\in\mathbb{Z^{+}}$. 이 불평등을 증명하고 싶습니다

나의 시도 : 두 가지를 고려할 생각을했는데 첫 번째는$\left|x-\frac{p}{q}\right|\geq1$ 두 번째 경우는 $\left|x-\frac{p}{q}\right|\leq1$ 더욱이 단순함을 위해 $x=\sqrt{2}$, 최소값을 찾을 수 있다면 $|p^{2}-2q^{2}|$ 약간의 진전이 있었지만 더 이상의 조치를 취할 수 없습니다

사이드 노트 : '디리클레'라는 이름은 어떻게 정확하게 발음 되나요?

Answer 1

확실히 일반적으로 사실이 아닙니다. $|x-p/q|$ 항상보다 커야합니다. $1/q^2(1+\sqrt2)$, 그리고 실제로 비합리적인 숫자는 매우 좋은 합리적인 근사치를 가질 수 있습니다 ( 예를 들어 Liouville 숫자 참조 ).

모든 실수 $x$, 무한히 많은 합리적인 근사치가 있습니다. $p/q$ 와 $|x-p/q| < 1/q^2\sqrt5$; 이것은 Hurwitz의 정리 입니다. 이것은 일반적으로 가장 가능합니다 (황금 비율은 예입니다).

특정 번호 $x=\sqrt2$우리는주기적인 연속 분수 확장 에서 오는 훨씬 더 많은 정보를 가지고 있습니다 . 불평등$|x-p/q| \ge 1/q^2C$ 모든 것을 보유 $C>2\sqrt2$ 제한적으로 많은 예외가 있지만 무한히 많은 예외가 있습니다 (다른 모든 $\sqrt2$) 불평등 $|x-p/q| \ge 1/q^22\sqrt2$ 그 자체.