디스크에 분석 기능의 존재

Question

허락하다 $D=\{z\in\mathbb C:|z|<1\}\subset\mathbb C$. 상수가 아닌 분석 함수가 있습니까?$g:D\to\mathbb C$ 만족스러운 $$g\bigg(\frac1n\bigg)=g^2\bigg(-\frac{1}n\bigg), \,\,\,\,\,\text{for every integer $엔$ greater than 1?} $$

내가 한 일은 다음과 같습니다.

나는 대답이 '아니오'라고 가정하고 있으므로 모순을 위해 그러한 $g$존재합니다. 순서를 고려하십시오$(1/2,1/3,1/4,\dots)$ 누구의 조건이 $D$. 이 시퀀스는$0$. 함수 정의$h(z)=g(z)-g^2(-z)$, 이는 분석적입니다. 우리는 그것을 본다$$ h(1/2)=h(1/3)=h(1/4)=\dots=0, $$ 정체성 정리에서, $h$ 모든 곳에서 0입니다 $D$. 그래서 나는 결론을$g(z)=g^2(-z)$어디에나. 여기서 무엇을해야합니까? 감사.

Answer 1

명확하고 일정 함 $g\equiv 0$ 또는 $g\equiv 1$ 둘 다이 관계를 만족합니다.

취하다 $g$ 일정하지 않습니다.

만약 $g(z)=g^2(-z)$, 다음 $g(0)=g^2(0)$, 따라서 $g(0)=0$ 또는 $1$.

A. 만약 $g(0)=0$, 다음 $g(z)=z^kf(z)$, 일부 양의 정수 $k$ 과 $f$ 단위 디스크에서 분석, $f(0)=a\ne 0$. 이 경우 우리는$$ n^{-k}f(1/n)=g(1/n)=g^2(-1/n)=n^{-2k}f^2(-1/n) $$ 따라서 $$ f(1/n)=n^{-k}f^2(-1/n) $$ 불가능합니다. $f(1/n)\to a\ne 0$, 동안 $n^{-k}f^2(-1/n)\to 0$, 같이 $n\to\infty$.

B. 만약 $g(0)=1$, 다음 $g(z)=1+z^kf(z)$, 어디 $f$ 단위 디스크의 분석 및 $f(0)=a\ne 0$,이 경우 $$ 1+n^{-k}f(1/n)=g(1/n)=g^2(-1/z) =\big(1+(-n)^{-k}f(-1/n)\big)^2=\\=1+2(-n)^{-k}f(-1/n)+n^{-2k}f^2(-1/n) $$ 따라서 $$ f(1/n)=2(-1)^kf(-1/n)+n^{-k}f^2(-1/n) $$ 그것은 $n\to\infty$, 경향 $$ a=2(-1)^ka. $$ 모순.

따라서 상수 만 $g\equiv 0$ 또는 $g\equiv 1$ 만족할 수 있었다 $g(1/n)=g^2(-1/n)$, 모든 $n>1$.

Answer 2

반복 $g(z)=g^{2}(-z)$ 우리는 얻는다 $g(z)=g^{2^{n}}((-1)^{n} z)$. 만약$|g(z)| >1$ 우리는 얻는다 $|g(z)|=|g^{2^{n}}((-1)^{n} z)| \to \infty$ 같이 $n \to \infty$짝수 값, 모순을 통해. 그 후$|g(z)| \leq 1$ 모든 $z$ 비슷하게, $|g(z)| <1$ 암시 할 것이다 $g(z)=0$. 만약$|g(z)|=1$ 모든 $z$ 그때 $g$MMP에 의해 상수입니다. 따라서 상수가 아닌 솔루션이 없습니다.