도박 질문
연습 4.21 : 게임에서 $ \ frac {1} {20} $ 확률로 \ $ 10을 이기고 확률로 \ $ 1을 잃습니다.$\frac{19}{20}$. 처음 200 번 게임을 한 후 $ 100 미만을 잃을 확률을 대략적으로 추정합니다. 이 확률은 300 경기 후에 어떻게 변할까요?
시도 :
첫째, 우리는 하나의 변수로 승패를 함께 보여줍니다. 정의 \ begin {equation *} W_n = 10S_n-(n-S_n) \ end {equation *} 여기서 $ W_n $ 는 $ n $ 게임 후의 승리를 나타내고 $ S_n $ 는 $ n $ 게임 의 승리 수를 정의합니다 . 따라서 \ begin {equation *} P (W_n \ geq 100) = P (11S_n-n> -100) = P \ biggr (S_n> \ frac {n-100} {11} \ biggr)입니다. \ end {equation *} 이제 $ n $ 의 다른 값을 사용하여 두 경우 모두 Central Limit Theorem을 적용 합니다.
하자 $ N = 200 $ , 다음 $ S_n \ 심 빈 (200, \ FRAC {1} {20}) $를 . 따라서 $ S_n> \ frac {100} {11} $ 를 원합니다 . 또한 $ E [S_n] = 200 \ cdot \ frac {1} {20} = 10 $ 및 Var $ (S_n) = 200 \ cdot \ frac {1} {20} \ cdot \ frac {19} {20} = \ frac {19} {2}. $ 따라서 CLT에서 \ begin {equation *} P \ biggr (\ frac {\ frac {100} {11}-10} {\ sqrt { \ frac {19} {2}}} <\ frac {S_n-10} {\ sqrt {\ frac {19} {2}}} \ biggr) \ approx 1-\ Phi (-0.457169) \ approx 0.6772. \ end {등식 *}
자,이 책은 200 게임의 첫 번째 경우 0.5636에 대해 다른 대답을 제공합니다. 다음 케이스로 이동하기 전에 내 실수를 이해하고 싶습니다.
직관적으로 이것은 $ S_n> \ frac {100} {11} $ 의 조건이 정규 분포의 종형 곡선의 상단에 가까워 야하므로 10의 예상 값이 $ \ frac {100}에 가까워 야합니다. {11} $ . 그러나 평생 동안 계산에서 오류를 발견 할 수 없습니다.
(이 질문에 대한 다른 Math Stack Exchange 질문은 본질적으로 나에게 아무것도 명확하지 않으므로이 게시물.)
우연의 게임에서 $ 100 미만의 손실.
답변
만약 $X$ 임의의 승리 횟수입니다. $n$ 게임, 다음 $$X \sim \operatorname{Binomial}(n = 200, p = 0.05)$$ 순 승패 확률 변수는 $$W = 10X - (n-X) = 11X - n.$$ 그러므로 $$\Pr[W > -100] = \Pr[11X - 200 > -100] = \Pr[X \ge 10].$$ 이 마지막 표현은 $X$분수 값을 취할 수 없습니다. 따라서,$$\Pr[X \ge 10] = 1 - \sum_{x=0}^{9} \binom{200}{x} (0.05)^x (0.95)^{200-x} \approx 0.54529\ldots.$$ 이것은 정확한 확률입니다. 여기서 유일한 근사치는 분수를 소수로 반올림하는 것입니다.
이는 또한 답이 잘못된 이유에 대한 중요한 통찰력을 제공합니다. 연속성 수정과 함께 정규 근사를 사용하고 있다고해서 결과가 다음과 같은 것은 아닙니다. $W$ 원하는 확률에 포함시키고 싶은 것은 샘플 공간 밖에있을 수 있습니다. $W$.
예를 들어 $U \sim \operatorname{Binomial}(n = 500, p = 0.5)$, 그리고 나는 당신에게 $\Pr[U < 225.999]$, 먼저 작성해야합니다. $\Pr[U < 225.999] = \Pr[U \le 225]$, 그런 다음 연속성 수정을 적용하여 대략적으로$$\Pr\left[Z \le \frac{225.5 - 250}{5 \sqrt{5}}\right].$$여기에도 동일하게 적용됩니다. 그러므로$$\Pr[W > -100] = \Pr[X \ge 10] \approx \Pr\left[\frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \ge \frac{9.5 - 10}{\sqrt{9.5}}\right] \approx \Pr[Z \ge -0.162221] \approx 0.564434.$$ 분명히 계산을 완료하기 전에 텍스트가 반올림되거나 보간없이 표준 일반 테이블 조회를 사용하고 있습니다. $\Pr[Z \ge -0.16] \approx 0.563559$. 어쨌든 근사치$$\Pr[Z \ge -0.457169] \approx 0.676225$$ 너무 많이 벗어납니다.