$f$ 연속적이다 $G(f)$ 미터법 공간에서 닫힌 세트입니다. [중복]
그래프 $f$ 이다 $G(f) = \{(x,f(x)) : x\in X\} \subseteq X\times Y$
$X$ 과 $Y$ 미터법 공간입니다. $Y$ 컴팩트합니다.
$f$ 연속적이다 $G(f)$ 닫힌 세트입니다.
나는 여기 에서 가장 가까운 대답을 얻었 지만 먼저 혼자 시도하고 한 지점에 붙어 있었고 다른 곳에서는 얻지 못한 특정 상황에 대한 도움이 필요합니다.
$\Rightarrow$ 부분 :하자 $(z_n)=(x_n,f(x_n))\in G_f$ 수렴 시퀀스 $G(f)$. 만약$(x,y)$한계입니다. 우리는 그것을 보여야합니다$y=f(x)$ 다시 말해 $(x,y)\in G_f$.
$x_n \to x$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$[연속성 $f$.] $\Rightarrow f(x)=y$한계의 고유성에 의해. 그 후$G_f$ 닫힙니다.
$\Leftarrow$ 부분 :하자 $x\in X$ 과 $(x_n)$ 한계가있는 수렴 시퀀스 $x$. 증명해야합니다$(f(x_n))$ 수렴 $Y$ 제한 $f(x)$. 나는 시퀀스를 사용했다$z_n=(x_n,f(x_n))$ 과 $G_f$ 콤팩트 한 공간에서 폐쇄 $Y$ 따라서 $G_f$컴팩트합니다. 그런 다음 하위 시퀀스가 있습니다.$(x_{n_k},f(x_{n_k})) \to (x,y)\in G_f$. 그럼 우리는$y=f(x)$ 하지만 그것을 어떻게 증명합니까? $f(x_n) \to f(x)$? 모든 하위 시퀀스는 사실입니다.$f(x_n)$ 수렴하는 하위 시퀀스가 있습니다. $f(x)$.
답변
댓글에서 나는이 보조 정리에서 오는 내 대답을 얻었습니다.
Lemma Let$Y$ 콤팩트 한 미터법 공간이고 $(y_n)$ 용어가 속한 시퀀스 $Y$. 모든 수렴 하위 시퀀스$(y_n)$같은 한계에 수렴$\ell\in Y$, 다음 $(y_n)$ 수렴 $\ell$.
증명 반대로 가정 해보십시오. 그런 다음 존재$\epsilon>0$, 다음과 같습니다.
$$\forall N\in\mathbb{N},\,\exists n\ge N;\,d(y_n,\ell)>\epsilon$$
이를 통해 하위 시퀀스를 생성 할 수 있습니다. $(y_{n_k})$ 그런 :
$$\forall k\in\mathbb{N},d(y_{n_k},\ell)>\epsilon$$
이제 추출 $(y_{n_k})$ 수렴 하위 시퀀스 : 한계 $\ell$ 가설에서 우리는 $0=d(\ell,\ell)\ge\epsilon$ ...
모순!
이제 누군가가이 답변을 닫을 수 있지만 내 기록에 보관할 수 있으며 누군가가 이런 식으로 진행할 경우. 그들은 그것으로부터 도움을받을 것입니다. 나는 우리가 생각할 수있는 명백한 방법 중 하나를 확인하고 있었기 때문에 질문을했습니다. 감사합니다!