Frobenius의 방법을 사용하여 ODE 풀기

Question

나는 ODE를 해결하는 임무를 맡았습니다. $2xy^{''}-(8x-1)y^{'}+(8x-2)y=0$.

나는 Frobenius 방법을 사용해 보았지만 대신 내가 정답이라고 의심하는 이상한 시리즈를 찾았습니다 (wolframalpha가 확인합니다).

허용 $$ y=\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r}\\ y^{'}=\sum_{n=0}^\infty a_n(n+r) x^{n+r-1}\\ y^{''}\sum_{n=0}^\infty a_n(n+r)(n+r-1)x^{n+r-2} $$

그런 다음 y, y '및 y' '를 ODE로 다시 동일시합니다. $$2\sum_{n=0}^\infty (n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-1}+\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_nx^{n+r-1}-8\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r}+8\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r+1}-2\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r}=0$$

세 번째 및 다섯 번째 항의 경우 n = k-1을 허용하고 네 번째 항에서 n = k-2를 허용하면 다음이 생성됩니다. $$2\sum_{k=0}^\infty (k+r)(k+r-1)a_kx^{k+r-1}+\sum_{k=0}^{\infty}(k+r)a_kx^{k+r-1}-8\sum_{k=1}^\infty a_{k-1}x^{k-1+r}+8\sum_{k=2}^\infty a_{k-2}x^{k+r-1}-2\sum_{k=1}^\infty a_{k-1}x^{k+r-1}=0$$

k = 0의 '낮은 항'을 사용하면 $$ 2r(r-1)+r=0 r=0,1/2 $$

여기에서, $$\left [ 2(k+r)(k+r-1)+(k+r) \right ]a_k-10a_{k-1}+8a_{k-2}=0$$

$$a_k = \frac{10a_{k-1}-8a_{k-2}}{2(k+r)(k+r-1)+(k+r)}\ for\ k\geq 2$$

분명히 이것은 내가 찾던 답이 아닙니다. r = 0,1 / 2를 사용하면 끔찍한 결과를 얻을 수 있습니다.

이것을 감안할 때 이것을 수행하는 올바른 방법은 무엇입니까, 아니면 어디에서 잘못 되었습니까?

Answer 1

합계를 다시 ODE로 대체 할 때 실수가 있습니다. 다음과 같아야합니다.

$$2\sum_{n=0}^\infty (n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-1}+\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_nx^{n+r-1}-8\sum_{n=0}^\infty (n+r)a_nx^{n+r}\\+8\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r+1}-2\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n+r}=0.$$

추가 요인에 유의하십시오. $(n+r)$3 학기. 그것은 당신의 실수였습니다. 위의 내용을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

$$\sum_{n=0}^\infty (n+r)(n+r-\frac{1}{2})a_nx^{n+r-1}-4\sum_{n=1}^\infty (n+r-\frac{3}{4})a_{n-1}x^{n+r-1}+4\sum_{n=2}^\infty a_{n-2}x^{n+r-1}=0.$$

우리는 동일한 개별 방정식을 얻습니다. 나는 갈 것이다$r=0$다른 해결책은 놔두세요. 우리는

$$\sum_{n=0}^\infty n(n-\frac{1}{2})a_nx^{n-1}-4\sum_{n=1}^\infty (n-\frac{3}{4})a_{n-1}x^{n-1}+4\sum_{n=2}^\infty a_{n-2}x^{n-1}=0.$$ 동일 조건 $O(x^0)$ 수확량 $a_1=2a_0$. 다른 용어를 동일시하면 반복 관계가 생성됩니다.$$a_n=4\frac{(n-\frac{3}{4})a_{n-1}-a_{n-2}}{n(n-\frac{1}{2})}.$$

이것은 여전히 ​​끔찍한 것처럼 보이지만 Wolfram에 $a_0=c$ 과 $a_1=2c$ 수확량 $a_n=\frac{2^nc}{n!}$. 좋은 해결책이 있습니다. Wolfram없이 이것을 얻고 싶다면 귀납법이 당신의 친구입니다.

Answer 2

Frobenius 방법을 사용할 의무가 있었는지 모르겠습니다. $y(x)=z(x) \,e^{ax}$. 이것은$$(a-2) \left((2 (a-2) x+1) z(x)+4 x z'(x)\right)+2 x z''(x)+z'(x)=0$$ 그래서 $a=2$ 만든다 $$2 x z''(x)+z'(x)=0$$ 차수 감소를 사용하여 $p(x)=z'(x)$ 다시 통합합니다.