그룹의 (표준) 정의.
댓글 및 응답의 제안을 통합하도록 수정 :
일반적으로 그룹의 정의는 다음과 같습니다.
정의 : If$S$ 세트입니다. $*$ 이진 연산입니다. $S$, 및 $e \in S$, 다음 $G = (S,e,*)$다음과 같은 경우 그룹 이라고 합니다.
(나는) $(ab)c = a(bc)$, $\forall a,b,c \in S$ (연관성);
(ii) $\exists e \in S$ 그런 $ae = a = ea$, $\forall a \in S$(정체); 과
(iii) $\forall a \in S$, $\exists b \in S$ 그런 $ab = e = ba$ (역).
다음 정의를 고려하십시오.
정의 : If$S$ 세트입니다. $*$ 이진 연산입니다. $S$, 및 $e \in S$, 다음 $G = (S,e,*)$다음과 같은 경우 그룹 이라고 합니다.
(나는) $(ab)c = a(bc)$, $\forall a,b,c \in S$ (연관성);
(ii) $\exists e \in S$ 그런 $ae = a$, $\forall a \in S$(올바른 신원); 과
(iii) $\forall a \in S$, $\exists b \in S$ 그런 $ab = e$ (오른쪽 역).
이 공리들은 모든 오른쪽 역이 좌 역이고 $e$A는 왼쪽 정체성 . (물론, 오른쪽 정체성 과 오른쪽 역을 사용하는 데 특별한 것은 없으며, 우리는 또한 공리적으로 왼쪽 정체성 과 왼쪽 역 을 취할 수 있습니다 .)
질문 1 : 내가 본 추상 대수학의 대부분의 학부 교과서에서 (나는 이것이 일화임을 알고 있습니다), 첫 번째 정의가 사용됩니다. 저자가 두 번째 정의의 변형이 아닌 첫 번째 정의를 사용하는 이유가 있습니까? 가능한 한 간결 하게 정의하는 것이 바람직하다는 점을 감안할 때 이것은 나에게 이상하게 보입니다 .
질문 2 : 또는 두 번째 정의 (또는 그 변형)를 사용하는 교과서가 있습니까?
답변
질문 2 : 다음은 내 책장의 네 가지 예입니다.
Derek Robinson의 A Course in the Theory of Groups , 2nd Edition (Springer, GTM 80)은 그룹을 올바른 ID와 오른쪽 역을 갖는 세미 그룹 (연관 이진 연산으로 비어 있지 않은 집합)으로 정의합니다. 2 페이지의 1.1.2에서 왼쪽 작업).
Marshall Hall, Jr.의 The Theory of Groups (AMS Chelsea Publishing은 제가보고있는 버전입니다). 그룹의 전체 정의의 일부로 양면 및 단면 버전을 모두 제공하여 양면 버전이 "중복"임을 나타내며 단면 버전을 제공합니다.
Burnside, Theory of groups of finite order (I 'm looking at Dover 's 1959 reprint of the 1911 second edition of the original)는 요소가 역으로 남았음을 묻는 그룹을 정의합니다. 그는 명시 적으로 신원을 요구하지 않지만 왼쪽 역의 요구 사항을 따릅니다.
van der Waerden의 대수 는 좌 정원과 좌역 만 필요합니다.
질문 1. 세미 그룹, 모노 이드 등의보다 일반적인 이론에 그룹을 맞추 려면 모노 이드 에서 정체성이 양면임을 지정 해야합니다 . 추론 할 수 없습니다. 따라서 "그룹은 모든 요소에 역이있는 모노 이드입니다."또는 "그룹은 정체성을 가지고 있고 모든 요소에 대해 역이있는 세미 그룹입니다."(기본적으로 Bourbaki가하는 일입니다)와 같이 말하고 싶다면, 그런 다음 신원의 사양은 양면이어야합니다.이 경우 역을 일방적으로 정의하는 것이 약간 이상해 보입니다.
또한 정의는 대부분의 학부생이 경험 한 경험과 일치합니다.이 시점에서 그들은 아마도 일반적인 수치 예제에 익숙 할 것입니다 ($\mathbb{Z}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{C}$, 아마도 쿼터니언, 아마도 모듈로 정수 $n$) 및 가능하면 행렬도 가능합니다. 따라서 공식적으로는 더 포괄적이지만 (객체에 더 적은 조건을 적용하여) 일반적인 예와 일치 할 때 쿼리를 초대하는 것처럼 보일 수있는 것보다 약간 더 복잡하거나 불필요한 경우에도 기대와 일치하는 정의를 제공하는 것이 가장 좋습니다. . 특히 거의 즉시 그들이 실제로 양면임을 보여줄 때.
두 번째 질문에는 대답 할 수 없지만 첫 번째 질문에 대답 해 보겠습니다.
우리가 두 번째 정의로 작업한다고하더라도, 교과서 저자가 가장 먼저 할 일은 두 번째 정의가 첫 번째 정의를 의미한다는 것을 증명 한 다음 나머지 텍스트 전체에 걸쳐 작업하는 것입니다.
또한 두 정의가 동등하다는 사실은 그다지 중요하지 않습니다. 왜냐하면 우리가 구조가 '오른쪽 그룹'정의의 요구 사항을 충족한다는 것을 알고있는 구조로 시작하는 경우는 드물지만 그것이 맞는지 여부는 확실하지 않기 때문입니다. '진정한 그룹'.
또한 이와 같은 정의는 독자에게 더 많은 혼란을 야기 할 수 있습니다. 표면적으로는 더 희박 할 수 있지만 사람들은 대칭이 매우 직관적이라고 생각합니다. 이러한 방식으로 그룹을 정의하면 그룹이 이상해 보이고 (이미 많은 사람들에게 이미있는 것보다 훨씬 더 많이) '이 규칙이 수정되면 어떨까요?'라는 질문이 제기됩니다. 아주 좋은 질문이지만 대부분의 추상적 인 대수학 책의 내용을 떨어 뜨립니다.
궁극적으로이 정의의 변화가 책에 도입되면 독자에게 흥미로운 질문을 줄 수 있지만 대부분은 책의 시작 부분에 추가 공간을 차지하여 나머지 책은 저자가 어쨌든 표준 정의를 사용하여 계속 진행할 것입니다. 이것이 많이 사용되지 않는 이유 일 것입니다.
(수정 또는 제안에 대해 자유롭게 댓글을 달거나 편집하십시오)
기술적으로 말하면 (iii) 정의되지 않은 $e$. 엄격한 관점에서 두 가지 옵션이 있습니다.
옵션 1
$(G,*,e)$ 그룹 iff $*$ 이진 연산입니다. $G$ 과 $e∈G$ 과:
- $∀a,b,c\ ( \ (a*b)*c = a*(b*c) \ )$.
- $∀a\ ( \ a*e = e*a = a \ )$.
- $∀a\ ∃b\ ( \ a*b = b*a = e \ )$.
옵션 2
$(G,*)$ 그룹 iff $*$ 이진 연산입니다. $G$ 과:
- $∀a,b,c\ ( \ (a*b)*c = a*(b*c) \ )$.
- $∃e\ ( \ ∀a\ ( \ a*e = e*a = a ∧ ∃b\ ( \ a*b = b*a = e \ ) \ )$.
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그 외에 가능한 '가장 희박한'정의를 갖는 것이 전혀 좋다고 생각하는 것은 잘못입니다. 예를 들어 PL (명제 논리)은 단일 공리 문장 스키마 (예 : wikipedia에 제공된 Meredith)에 의해 공리 화 될 수 있습니다 . 상황을 악화 시키려면 NAND가 기능적으로 완전하기 때문에 sheffer stroke (NAND)를 사용하고 다른 부울 연결을 사용하지 마십시오.
또 다른 예는 PA (First-order Peano Arithmetic)입니다. 유도 가 있는 이산 정렬 된 세미 링의 관점에서 PA의 공리 화는 단순히 의도 된 모델의 실제 구조를 더 많이 드러내 기 때문에 후속 기반 공리 화보다 훨씬 우수합니다.$ℕ$PA의. 사실 PA에 대한 동기는 애초에 공리 화를 원했기 때문입니다.$ℕ$, 그래서 우리 는의 기본 속성을 증명할 수있는 이론 에만 관심 이 있습니다.$ℕ$, 그리고 당연히 이러한 기본 속성은 불연속 정렬 된 반고리 공리와 유도로 정확하게 표현됩니다.
이것은 질문 1에 대한 부분적인 "프레임 챌린지"답변입니다. 다음과 같이 작성합니다.
가능한 한 간결하게 정의하는 것이 바람직하다는 점을 감안할 때 이것은 나에게 이상하게 보입니다.
"약함"은 확실히 바람직하고 다른 것들은 동등하지만 정의에 대한 유일한 바람직한 기준도 아니고 지배적 인 기준도 아닙니다. 다른 중요한 것들은 자연 스러움, 이해력, 일반화를 포함합니다. 그리고 이들 모두는 그룹의 표준 정의를 선호합니다. 몇 가지 특정 문제를 살펴 보겠습니다.
표준 정의는 대칭입니다. 당신이 제안한 프리젠 테이션은 공리 화에 인공적인 비대칭을 도입합니다. 물론 결과적인 이론이 대칭이라는 것은 여전히 따르지만 공리 화는 이것을 숨 깁니다.
그룹의 예에서 우리는 역과 단위를 양면으로 생각합니다. 왼손잡이 버전과 오른 손잡이 버전을 실제로 분기하는 예제에서 분리하는 것은 자연스러운 일입니다. 따라서 표준 프레젠테이션은 우리가 예제를 보는 방식에 더 잘 맞습니다.
로 아르투로 Magidin의 응답 한 단면 및 양면 개념이 정말 동일하지 어디에, 등등 monoids을하고, - 세부 사항, 표준 정의 일반화된다 더 나은 우리는 약한 구조로 이동합니다.
이것들은 모두 약간 주관적이지만 그럼에도 불구하고 정의를 선택할 때 매우 현실적이고 중요합니다.
비교를 위해 Higman과 Neumann (Tarski의 초기 작업에 이어)은 그룹이 단일 작업으로 공리 화 될 수 있음을 보여주었습니다. $x/y$ "분할"및 단일 공리 : $x / ((((x / x) / y) / z) / (((x / x) / x) / z)) = y$. 이것은 확실히 표준 프리젠 테이션이나 단면 버전보다 "간단"합니다. 하지만 이해하기 어렵거나 자연 스럽거나 일반화 할 수 없습니다. 이것이 그룹의 기본 정의로 주어서는 안된다는 데 동의하실 것입니다. 당신의 제안은 확실히 이것보다 훨씬 낫습니다. 그러나 대부분의 수학자들은 대부분의 목적에서 표준 정의보다 약간 덜 명확하고 자연 스럽기 때문에 표준 정의가 선호된다는 데 동의 할 것이라고 생각합니다.
고의적으로 대답이 아님
대칭적인 정의를 제시하고, 그룹과 약간의 작업을 한 다음 "여기에 다른 정의가 있습니다. 그것이 우리의 정의를 의미한다는 것을 보여주세요"라는 연습을하는 것은 나쁜 생각이 아니라고 생각합니다. 그리고 그 연습은 우리가 특정 정의를 선택하는 방법 / 왜에 대한 논의와 함께 이어질 수 있습니다 [아마도 여기에있는 답변 중 일부에서 설명].
신진 수학자를 훈련시키려는 과정에서이 문제를 할당합니다. (예를 들어, 결정학을 위해 그것을 알아야하는 사람들에게) 대수를 가르치려고하는 과정에서는 건너 뜁니다.
예를 들어 Isabelle / HOL에서와 같이 컴퓨터를 사용하여 수학 및 구현의 형식화를위한 계층 구조를 구축하는 방법을 논의 할 계획 인 과정에서 모든 다른 가능성과 방법에 대해 이야기 할 수 있습니다. 각각은 대수학의 추가적인 측면에서 당신의 발전을 돕거나 방해합니다.