GIT 및 특이점

Question

허락하다 $G$ 복잡한 아핀 다양성에 작용하는 복잡한 환원 그룹 $X$ 그리고하자 $X // G = \operatorname{Spec}\mathbb{C}[X]^G$ GIT 몫입니다.

단일 궤적 사이에 관계가 있습니까? $X$ 그리고 그것의 $X // G$?

물론이야, $X//G$ 매우 단수 일 수 있지만 $X$부드럽습니다. 그러나 예를 들어, 나는 (또는 어떤 조건에서)$X$ 단일 지점에 매핑됩니다. $X // G$.

편집하다. 아래 Spenser의 멋진 댓글은 후자에 대한 대답이 '아니오'라는 것을 보여줍니다. 그러나 아마도 더 정확하고 더 정확한 질문은 다음과 같습니다.$X // G$ 비단 수 $y$, 비단 수성이 있습니까? $x \in X$ 매핑 $y$? 즉, 모든 섬유를$X \to X // G$ 비 특이점에서 비 특이점 포함 $X$? 나는 비 환원성 또는 다른 좋은 속성을 가정 할 의향이 있습니다.

Answer 1

이것은 수정 된 질문에 대한 답변입니다. 제가 생각할 수있는 가장 단순한 반례입니다.$X$ 정상이고 아핀입니다. $Y=X//G$ 의 단일 궤적에 포함 된 몫 맵의 섬유가 있어도 부드럽습니다. $X$.

허락하다 $Y$ 있다 $\text{Spec}\ k[x,y,z]$, 즉 아핀 $3$-우주. 허락하다$G$ 단위의 곱셈 그룹, $G=\text{Spec}\ k[u,u^{-1}]$. 허락하다$X$ 있다 $\text{Spec}\ k[x,y,z,s,t,t^{-1}]/\langle f \rangle$ 어디 $f$ 다항식입니다. $$f=s^2+t(xz-y^2).$$ 행동하자 $G$ 의 위에 $X$ 에 의해 정의되다 $$\mu:G\times_{\text{Spec}\ k} X \to X, \ \ \mu(u,(x,y,z,s,t)) = (x,y,z,us,u^2t). $$ 반지 $G$-불변 다항식은 서브 링입니다. $$k[X]^G = k[x,y,z].$$ 몫지도는 일반적인 투영입니다. $$q:X\to Y, \ \ q(x,y,z,s,t) = (x,y,z).$$ 조밀 한 Zariski 오픈 $U = D(xz-y^2)\subset Y$, 반전 이미지 $q^{-1}(U)$ 이다 $G$-거북이 $U$.

단일 궤적 $X$ 독신이다 $q$-섬유, $q^{-1}(0,0,0)$. 원점이 부드러운 지점이지만$Y$, 이것의 모든 포인트 $q$-섬유는 $X$.