고차원 공

Question

고차원에서는 단위 볼의 부피가 0이됩니다. 3 차원에서는 확실히 볼의 부피보다 적습니다.

그렇다면 문제는 d 차원 공이 어떻게 3 차원 공을 포함 할 수 있는가하는 것입니다.

단위 큐브의 부피로 삼차원 1 권을 고려한다고 생각했습니다.

그리고 d 차원의 1 볼륨은 d 차원의 단위 큐브의 볼륨으로 간주됩니다.

그래서 저는 다른 차원에서 부피를 계산하는 방법이 다르다고 생각합니다.

이게 정답인가요? 나는 이것을 설명하는 방법을 모른다.

미리 감사드립니다.

Answer 1

이것에 대해 생각하는 좋은 방법은 $3$ vs $2$무슨 일이 일어나고 있는지 시각화 할 수 있기 때문입니다. 반경의 부피$\frac 12 \ 3-$공은 $\frac 43\pi \frac 18=\frac \pi 6$. 반경의 면적$\frac 12\ 2-$공 (디스크)은 $\pi \frac 14=\frac \pi 4$,이를 포함하는 구의 볼륨보다 큽니다. 디스크의 볼륨은$0$세 번째 방향의 범위가 0이기 때문입니다. 우리가 다른 것에 대해 이야기하고 있기 때문에 모순이 없습니다.