궤도 $SO(3)$

Question

면책 조항 : 이 질문에는 몇 가지 수정 사항이 있습니다. 이건 사건을 다룬다$k=\mathbb{R}$, 복잡한 케이스에 대해 다른 하나를 게시하겠습니다.

의 행동을 고려하십시오 $SO(3)$ 의 위에 $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, 동종 좌표 $x_0,x_1,x_2$, 형식 $$SO(3)\times\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^2$$ $$(A,p)\mapsto Ap.$$ 이 행동의 궤도가 무엇인지 이해하고, 그 행동이 전이 적인지 이해하고 싶습니다. $SO(3)\simeq \mathbb{P}^2$ 즉, 이후 $SO(3)/SO(3)_p\simeq SO(3)p$, 공부하고 싶습니다 $$SO(3)/SO(3)_p.$$ 그렇게하기 위해 저는 단순함을 고려했습니다. $p=(1:0:0)$, 그리고 나는 그것을 발견했습니다 $$SO(3)_p=\{A\in SO(3)\mid \text{the first columns of $ㅏ$ is equal to $피$}\}.$$ 결론을 내리기 위해서는 주어진 요점을 $y\in \mathbb{P}^2$, 매트릭스가 있습니다 $B\in SO(3)$ 그런 $Bp=y$즉, 첫 번째 열 $B$ 동일하다 $y$. 불행히도 지금은 막혔습니다. 단순히 열로 행렬을 만드는 방법을 모르기 때문에$y$.

Answer 1

매트릭스가 필요합니다 $B$ 그런 $Bp$ 비례한다 $y$ (생각하다 $y$ 벡터로 $\Bbb R^3$). 따라서 첫 번째 단계는$y$ 와 $y/\|y\|$, 단위 벡터가됩니다. 그런 다음 첫 번째 열이 다음과 같은 회전 행렬이 필요합니다.$y$. 다른 두 열은 다음과 직교해야합니다.$y$, 그리고 그들은 긍정적으로 지향되어야합니다. 그래서 여기에 구조가 있습니다.

가장 작은 항목을 보자 $y$, 절대 값으로 $i$일. 허락하다$w = e_i$. 계산$$ v = w - w \cdot y $$ 직교하는 $y$ (왜 0이 될 수 없습니까? 그것은 당신을위한 운동입니다) 그리고 나서 $$ u = v / \| v \| $$ 이것은 다음과 직교하는 단위 벡터입니다. $y$. 그럼$B$ 열이있는 행렬 $y, u, $ 과 $y \times u$.

그러나 이것은 모든 지점에서 작동합니다. $y$, 당신의 곡선에있는 것들뿐만 아니라 $C$, 그래서 이것이 당신의 문제를 어떻게 해결하는지 정말로 이해하지 못합니다. 나는 아마도 뭔가를 오해했을 것입니다.