규범 및 내부 제품 공간의 정의
나는 Normed Vector 공간 과 Inner 제품 공간 에 대한 Wikipedia 페이지를 읽고 있었고, 정의에서 항상 벡터 공간에 대해 이야기합니다.$\Bbb R$ 또는 $\Bbb C$.
대부분의 유용한 표준 및 내부 제품 공간이 끝났기 때문입니까? $\Bbb R$ 또는 $\Bbb C$ 아니면 해당 공간이 특정 필드의 벡터 공간에 대해서만 정의됩니까?
편집 :이 게시물의 의견 에서이 주제에 대해 토론 한 후 내 질문을 다시 말하고 싶습니다.
허락하다 $V$ 필드 위의 벡터 공간 $\mathbb F$. 어떤 조건이$\Bbb F$ 우리가 원하는지 확인 $V$내부 제품 공간이 될 수 있는가? 표준 벡터 공간은 어떻습니까?
답변
나는 그것이 모든 규범 적 분야에서 작동한다고 믿습니다 (적어도 규범 적 공간, 내부 제품 공간의 경우 복잡한 활용에 대한 일반화가 필요하기 때문에 확실하지 않습니다). 표준 분야$k$ 규범을 갖춘 분야 $||\cdot||: k\to \mathbb{R}_{\ge0}$ 그런
- $||x||=0\Leftrightarrow x=0$
- $||a+b|| \le ||a|| + ||b||$
- $||a\cdot b|| = ||a||\cdot||b||$
귀하의 분야 $k$ 이산 평가가 있습니다 $\nu$ 정의함으로써 규범을 구축 할 수 있습니다. $||x||:=\exp(-a\nu(x))$ 긍정적 인 $a$...
어쨌든 Bourbaki가 가장 일반적인 정의를 제공 할 것이라고 확신합니다.
그리고 표준이 매핑하는 조건을 완화하려면 $\mathbb{R}_{\ge0}$, 그렇게 할 수있는 방법도 있다고 생각합니다. 완전히 정렬 된 세미 링에 매핑되도록합니다.