해결 $AB+BA=XBX'$

Oct 10 2020

가정 $A$ 이다 $d\times d$ 양의 정부 호 행렬, 행렬을 찾고 싶습니다 $X$ 모든 양의 정부 호 행렬에 대해 다음이 참이되도록 $d\times d$ 행렬 $B$

$$AB+BA=XBX^T$$

솔루션은 언제 존재합니까? 이 방정식의 이름이 있습니까?

답변

1 user1551 Oct 11 2020 at 15:08

이 방정식은 다음과 같은 경우에만 풀 수 있습니다. $A$ 양의 스칼라 행렬입니다.

이후 $AB+BA=XBX^T$에 대한 모든 긍정적 인 명확한 행렬$B$, 통과하면 $B$ 한계까지, 방정식은 $B$양의 반 정호입니다. 특히,$Auu^T+uu^TA=(Xu)(Xu)^T$ 0이 아닌 모든 벡터에 대해 $u$. RHS의 순위는 최대 1 개이므로$Au$ 스칼라 배수 여야합니다. $u$. 같이$u$ 이는 0이 아닌 모든 벡터가 다음의 고유 벡터임을 의미합니다. $A$ 따라서 $A$스칼라 행렬입니다. 그러므로$A=cI$ 일부 $c>0$ 때문에 $A$ 양수입니다.

반대로 $A=cI$ 일부 $c>0$, 우리는 $2cuu^T=(Xu)(Xu)^T$ 0이 아닌 모든 벡터에 대해 $u$. 그 후$Xu$ 동일하다 $\pm\sqrt{2c}u$, 유일한 솔루션은 $X=\pm\sqrt{2c}I$.

Angelo Oct 11 2020 at 05:28

우선, 우리는 다음과 같은 속성을 증명합니다.

속성 1 :

만약 $\;M\;$ 실수 대칭 행렬이고 대칭 행렬이 있습니다. $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ 그런 $\;M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=M.\;$ 또한 $\;M\;$ 양의 정확한 경우 $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ 진짜입니다.

증명:

실제 대칭 행렬에 대해 스펙트럼 정리를 적용하면 직교 행렬이 있음을 알 수 있습니다. $\;U\;$ 그런 $\;U^T\cdot M\cdot U=F\;$ 대각선이므로

$M=U\cdot F\cdot U^T\;$.

허락하다 $\;G\;$ 항목이 항목의 제곱근 인 대각 행렬 $\;F\;,\;$ 그래서 그것은 결과 $\;F=G\cdot G\;.$

매트릭스 $\;M^{\frac{1}{2}}=U\cdot G\cdot U^T\;$ 대칭이고

$\;M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=U\cdot G\cdot U^T\cdot U\cdot G\cdot U^T=U\cdot G\cdot G\cdot U^T=\\\qquad\qquad\;\;=U\cdot F\cdot U^T=M\;.$

또한 $\;M\;$ 양의 정부 호이면 모든 고유 값이 양수이므로 행렬의 모든 대각선 항목 $\;F\;$ 결과적으로도 긍정적입니다 $\;G\;$ 과 $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ 실제 행렬입니다.

속성 2 :

만약 $\;M\;$ 가역 실수 대칭 행렬이면

$Y^T\cdot Y=M\implies\exists\;U$ 다음과 같은 직교 행렬 $\;Y=U\cdot M^{\frac{1}{2}}\;.$

증명:

Property 1을 적용하면 대칭 행렬이 존재 함을 알 수 있습니다. $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ 그런 $\;M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=M\;.$

이후 $\;M\;$ 가역적이면 $\;\det M\ne0\;,\;$ 그 후 $\;\det\left(M^{\frac{1}{2}}\right)\ne0\;,\;$ 따라서 $\;M^{\frac{1}{2}}\;$ 뒤집을 수도 있습니다.

을 고려하면 $M^{\frac{1}{2}}$ 대칭이면 $\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}$ 역시 대칭입니다.

만약 $\;Y^T\cdot Y=M\;,\;$ 그때

$Y^T\cdot Y=M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}\;,$

$\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\cdot Y^T\cdot Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}=I\;,$

$\left[Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\right]^T\cdot\left[Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}\right]=I\;,\;$ 그 후

$Y\cdot\left(M^{\frac{1}{2}}\right)^{-1}=U\;$ 직교 행렬이고

$Y=U\cdot M^{\frac{1}{2}}\;.$

재산 3 :

만약 $\;M\;$ 실수 대칭 행렬이면

$Y=U\cdot M^{\frac{1}{2}}\;$ 어디 $\;U\;$ 직교 행렬입니다. $\implies Y^T\cdot Y=M\;.$

증명:

$Y^T\cdot Y=\left(U\cdot M^{\frac{1}{2}}\right)^T\cdot\left(U\cdot M^{\frac{1}{2}}\right)=M^{\frac{1}{2}}\cdot U^T\cdot U\cdot M^{\frac{1}{2}}=\\\qquad\quad=M^{\frac{1}{2}}\cdot M^{\frac{1}{2}}=M\;.$

이제 우리는 행렬 방정식을 풀 것입니다.

$X\cdot B\cdot X^T=AB+BA\;,\quad\color{blue}{(*)}$

어디 $\;A\;$ 과 $\;B\;$ 양의 정부 호 행렬입니다.

실제 대칭 행렬에 대해 스펙트럼 정리를 적용하면 직교 행렬이 있음을 알 수 있습니다. $\;P\;$ 그런 $\;P^T\cdot B\cdot P=D\;$ 대각선이므로

$B=P\cdot D\cdot P^T\;$.

허락하다 $\;E\;$ 항목이 항목의 제곱근 인 대각 행렬 $\;D\;,\;$ 그래서 그것은 결과 $\;D=E\cdot E\;.$

을 고려하면 $\;B\;$ 는 양의 정부 호 행렬이고 모든 고유 값은 양수이므로 모든 대각선 항목은 $\;D\;$ 과 $\;E\;$ 결과적으로도 긍정적입니다 $\;D\;$ 과 $\;E\;$ 역행렬 행렬입니다.