흥미로운 "epimorphisms" $E_\infty$-링 스펙트럼

Question

$\newcommand{\Mod}{\mathbf{Mod}} \newcommand{\map}{\mathrm{map}_{E_\infty-A}}$ 가정 $i:A\to B$ 의지도입니다 $E_\infty$-링 스펙트럼. 그것은 펑터를 유도합니다$\infty$-카테고리 $\Mod_B\to\Mod_A$ 스칼라 제한으로.

합리적인 질문은 이것이 완전히 충실 할 때 묻는 것입니다. 스칼라 부속물의 제한-확장의 공동 단위를 연구하면 이것이 다음과 같은 경우에만 해당되는지 확인하기가 매우 쉽습니다.$B\otimes_A B\to B$ ( "곱하기"지도)는 동등성입니다.

그 섹션을 연구함으로써, 내가 착각하지 않았다면, 두 가지 내포물이있는 경우에만 이것이 사실인지 확인합니다. $i_0,i_1: B\to B\otimes_A B$ 지도와 동일 $E_\infty$-$A$-대수.

이를 위해 충분합니다 $A\to B$ 의 "epimorphism"이다 $E_\infty$-$A$-대수 (실제로는 동등하다고 생각합니다), 즉 $\map(B,-)\to \map(A,-)$구성 요소를 포함해야합니다. 이후$\map(A,-) \simeq *$, 이것은 $\map(B,C)$ 모두에게 비어 있거나 축소 가능 $C$.

예를 들어 다음과 같은 경우에 발생합니다. $B$ 의 현지화입니다 $A$ 특정 수업에서 $S\subset \pi_*(A)$ (예 : $\mathbb{S\to Q, Z\to Q}, ku\to KU,$ 기타.)

내 질문은 :

이런 일이 발생하지만 위의 의미에서 현지화 가 아닌 흥미로운 경우가 있습니까?

에서 $1$-범주적인 경우, 이 질문 은 교환 고리의 변형에 대해 질문 되었습니다.$\Mod_B\to \Mod_A$ 다음과 같은 경우에만 완전히 충실합니다. $A\to B$ 에피 모피 즘), 몫도 지역화도 아닌 예가 있습니다.

여기서 몫은 일반적으로 "$x=0$"는 추가 구조가됩니다 (예 : $\mathbb F_p\otimes_\mathbb Z\mathbb F_p \simeq \mathbb F_p[\epsilon], |\epsilon|=1$ 같이 $E_1$-algebras), 따라서이 설정에서 "epimorphisms"이 어떤 모습 일 수 있는지 묻는 것이 합리적입니다.

Answer 1

만약 $A$ 이다 $E_\infty$ 링 스펙트럼 및 $i : A \to B$ 모든지도 $A_\infty = E_1$ 링 스펙트럼은 곱셈이 $\mu : B \wedge_A B^{op} \to B$ 동등한 것입니다. $B \simeq LA$ 어디 $L$ 카테고리에 대한 몇 가지 놀라운 Bousfield 현지화입니다 $A$-모듈. 특히,$B$ 될거야 $E_\infty$ 과 $i$ 이다 $E_\infty$지도. 취득$A = S$ 과 $L = L_n$ Johnson-Wilson 이론에 대한 Bousfield 지역화 $E(n)$, for $0 < n < \infty$, 어떤 세트에서도 대수적 지역화로 제공되지 않는 예를 제공합니다. $S$ 수업 수 $\pi_*(A)$. 경우$n=1$ ($p$-로컬) 토폴로지 $K$-이론, $B = L_1 S$ 이미지와 밀접한 관련이 있습니다.$J$스펙트럼. Ravenel의 1984 Amer의 정의 1.18을 참조하십시오. J. Math. 스매싱 로컬라이제이션 개념에 대한 논문, "스매싱 맵"에 대한 언급 된 관계에 대한 AMS 회고록의 제안 9.3.3 .