확률 계산의 의심.

Question

X와 Y는 두 명의 체스 플레이어입니다.

• X가 Y와의 특정 게임에서 이길 확률은 $1/3$ Y가 게임에서 이길 확률은 $2/3$.
• 그들은 X가 두 게임을 연속으로 이기고 X가 시리즈에서 이기고 Y가 시리즈에서이기도록 규칙이있는 일련의 게임을합니다. $4$ 연속 게임.
• 그들은 게임을 시작하고 그들 중 한 명이 시리즈에서 이길 때까지 플레이합니다.

이 규칙에 따라 Y가 시리즈에서 이길 확률은 얼마입니까?

나는 확률을 고려하여 계산했다 $4/5/6$ 개별적으로 총 게임 수 있지만 패턴을 찾을 수 없어서 합산 할 수 있습니다. $n$ 게임 수 및 경향 $n$ 무한대$\ldots$ 그런 문제에 대한 나의 기본적인 접근 방식이지만 여기서는 할 수 없었습니다.$\ldots$

Answer 1

비 터미널 상태는 다음과 같습니다. $w\in\{\emptyset, X, Y, YY, YYY\}$, 여기서 이름 $w$마지막 관련 승리를 나타냅니다. 각 주에 대해$w$ 우리는 확률이 있습니다 $p_w$ 그 $Y$시리즈 우승 . 이러한 확률에 대해 다음 방정식이 있습니다.$$\eqalign{p_{\emptyset}&={2\over3}p_{Y}+{1\over3}p_{X}\cr p_{Y}&={2\over3}p_{YY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YY}&={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YYY}&={2\over3}+{1\over3}p_{X}\cr p_{X}&={2\over3}p_{Y}\cr}$$ 예 : 우리가 상태에있을 때 $YY$, 플레이어 $Y$확률로 시리즈 우승$p_{YY}$. 다음 경기에서$Y$ 확률로 승리 ${2\over3}$ 그리고 우리는 상태에 있습니다 $YYY$, 및 $Y$ 확률로진다 ${1\over3}$, 그리고 우리는 상태에 있습니다 $X$. 이런 식으로 우리는 방정식을 얻습니다$p_{YY}={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}$.

이 시스템을 풀면 초기 확률이 $$p_{\emptyset}={64\over129}\ .$$